Trigonometrie Beispiele

$1 = 8 \cos (x + 1) - 3$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $8 \cos (x + 1) - 3 = 1$ um.

$8 \cos (x + 1) - 3 = 1$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $\cos (x + 1)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 \cos (x + 1) = 1 + 3$

Schritt 2.2

Addiere $1$ und $3$ .

$8 \cos (x + 1) = 4$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $8 \cos (x + 1) = 4$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $8 \cos (x + 1) = 4$ durch $8$ .

$\frac{8 \cos (x + 1)}{8} = \frac{4}{8}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 \cos (x + 1)}{8} = \frac{4}{8}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $\cos (x + 1)$ durch $1$ .

$\cos (x + 1) = \frac{4}{8}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\cos (x + 1) = \frac{4 (1)}{8}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\cos (x + 1) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x + 1) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x + 1) = \frac{1}{2}$

Schritt 4

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x + 1 = \arccos (\frac{1}{2})$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$x + 1 = \frac{π}{3}$

Schritt 6

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{π}{3} - 1$

Schritt 7

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x + 1 = 2 π - \frac{π}{3}$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Schritt 8.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x + 1 = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 8.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x + 1 = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 8.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x + 1 = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 8.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x + 1 = \frac{6 π - π}{3}$

Schritt 8.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x + 1 = \frac{5 π}{3}$

Schritt 8.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{5 π}{3} - 1$

Schritt 9

Ermittele die Periode von $\cos (x + 1)$ .

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Schritt 9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 9.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 9.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 9.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 10

Die Periode der Funktion $\cos (x + 1)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} - 1 + 2 π n, \frac{5 π}{3} - 1 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$