Trigonometrie Beispiele

tan (\frac{7 π}{8})

$\tan (\frac{7 π}{8})$

Schritt 1

Schreibe

\frac{7 π}{8}

$\frac{7 π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch

2

$2$ .

tan (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})

$\tan (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

Schritt 2

Wende die Tangens-Halbwinkelformel an.

\pm \sqrt{\frac{1 - cos (\frac{7 π}{4})}{1 + cos (\frac{7 π}{4})}}

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}$

Schritt 3

Change the

\pm

$\pm$ to

-

$-$ because tangent is negative in the second quadrant.

- \sqrt{\frac{1 - cos (\frac{7 π}{4})}{1 + cos (\frac{7 π}{4})}}

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}$

Schritt 4

Vereinfache

- \sqrt{\frac{1 - cos (\frac{7 π}{4})}{1 + cos (\frac{7 π}{4})}}

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}$ .

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Schritt 4.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

- \sqrt{\frac{1 - cos (\frac{π}{4})}{1 + cos (\frac{7 π}{4})}}

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}$

Schritt 4.2

Der genau Wert von

cos (\frac{π}{4})

$\cos (\frac{π}{4})$ ist

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + cos (\frac{7 π}{4})}}

$- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}$

Schritt 4.3

Schreibe

1

$1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + cos (\frac{7 π}{4})}}

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + cos (\frac{7 π}{4})}}

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}$

Schritt 4.5

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + cos (\frac{π}{4})}}

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Schritt 4.6

Der genau Wert von

cos (\frac{π}{4})

$\cos (\frac{π}{4})$ ist

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 4.7

Schreibe

1

$1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 4.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 4.9

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

Schritt 4.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 4.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

Schritt 4.10.2

Forme den Ausdruck um.

$- \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}$

Schritt 4.11

Mutltipliziere

$\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ mit

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$- \sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}$

Schritt 4.12

Mutltipliziere

$\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ mit

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$- \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}$

Schritt 4.13

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$- \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Schritt 4.14

Vereinfache.

$- \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 4.15

Wende das Distributivgesetz an.

$- \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 4.16

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 4.16.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 4.16.2

Forme den Ausdruck um.

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 4.17

Kombiniere

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ und

$\sqrt{2}$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 4.18

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 4.18.2

Multipliziere

$- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Schritt 4.18.2.1

Potenziere

$\sqrt{2}$ mit

$1$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}}$

Schritt 4.18.2.2

Potenziere

$\sqrt{2}$ mit

$1$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}}$

Schritt 4.18.2.3

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}}$

Schritt 4.18.2.4

Addiere

$1$ und

$1$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}}$

Schritt 4.18.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.18.3.1

Schreibe

${\sqrt{2}}^{2}$ als

$2$ um.

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Schritt 4.18.3.1.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{2}$ als

$2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}}$

Schritt 4.18.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}}$

Schritt 4.18.3.1.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

Schritt 4.18.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 4.18.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

Schritt 4.18.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}}$

Schritt 4.18.3.1.5

Berechne den Exponenten.

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 4.18.3.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$2$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}}$

Schritt 4.18.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$2 \sqrt{2} - 2$ und

$2$ .

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Schritt 4.18.4.1

Faktorisiere

$2$ aus

$2 \sqrt{2}$ heraus.

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}}$

Schritt 4.18.4.2

Faktorisiere

$2$ aus

$- 2$ heraus.

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}}$

Schritt 4.18.4.3

Faktorisiere

$2$ aus

$2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ heraus.

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}}$

Schritt 4.18.4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.18.4.4.1

Faktorisiere

$2$ aus

$2$ heraus.

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}}$

Schritt 4.18.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}}$

Schritt 4.18.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{1}}$

Schritt 4.18.4.4.4

Dividiere

$\sqrt{2} - 1$ durch

$1$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}$

Schritt 4.18.5

Wende das Distributivgesetz an.

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - - 1}$

Schritt 4.18.6

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1}$

Schritt 4.19

Addiere

$2$ und

$1$ .

$- \sqrt{3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}$

Schritt 4.20

Subtrahiere

$\sqrt{2}$ von

$- \sqrt{2}$ .

$- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Dezimalform:

$- 0.41421356 \dots$