Trigonometrie Beispiele

\tan (3 x) = 1

$\tan (3 x) = 1$

Schritt 1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um

x

$x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

3 x = \arctan (1)

$3 x = \arctan (1)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von

\arctan (1)

$\arctan (1)$ ist

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ .

3 x = \frac{π}{4}

$3 x = \frac{π}{4}$

3 x = \frac{π}{4}

$3 x = \frac{π}{4}$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in

3 x = \frac{π}{4}

$3 x = \frac{π}{4}$ durch

3

$3$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in

3 x = \frac{π}{4}

$3 x = \frac{π}{4}$ durch

3

$3$ .

\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

3

$3$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere

x

$x$ durch

1

$1$ .

x = \frac{\frac{π}{4}}{3}

$x = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

x = \frac{\frac{π}{4}}{3}

$x = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

x = \frac{\frac{π}{4}}{3}

$x = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 3.3.2

Multipliziere

\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}

$\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ mit

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

x = \frac{π}{4 \cdot 3}

$x = \frac{π}{4 \cdot 3}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere

4

$4$ mit

3

$3$ .

x = \frac{π}{12}

$x = \frac{π}{12}$

x = \frac{π}{12}

$x = \frac{π}{12}$

x = \frac{π}{12}

$x = \frac{π}{12}$

x = \frac{π}{12}

$x = \frac{π}{12}$

Schritt 4

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von

π

$π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

3 x = π + \frac{π}{4}

$3 x = π + \frac{π}{4}$

Schritt 5

Löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

π

$π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

3 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}

$3 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 5.1.2

Kombiniere

π

$π$ und

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

3 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}

$3 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 5.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

3 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}

$3 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 5.1.4

Addiere

π \cdot 4

$π \cdot 4$ und

π

$π$ .

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Schritt 5.1.4.1

Stelle

π

$π$ und

4

$4$ um.

3 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}

$3 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 5.1.4.2

Addiere

4 \cdot π

$4 \cdot π$ und

π

$π$ .

3 x = \frac{5 \cdot π}{4}

$3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

3 x = \frac{5 \cdot π}{4}

$3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

3 x = \frac{5 \cdot π}{4}

$3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in

3 x = \frac{5 \cdot π}{4}

$3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ durch

3

$3$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in

3 x = \frac{5 \cdot π}{4}

$3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ durch

3

$3$ .

\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

3

$3$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere

x

$x$ durch

1

$1$ .

x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{3}

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.3.2

Multipliziere

\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3}

$\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Mutltipliziere

\frac{5 π}{4}

$\frac{5 π}{4}$ mit

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

x = \frac{5 π}{4 \cdot 3}

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 3}$

Schritt 5.2.3.2.2

Mutltipliziere

4

$4$ mit

3

$3$ .

x = \frac{5 π}{12}

$x = \frac{5 π}{12}$

x = \frac{5 π}{12}

$x = \frac{5 π}{12}$

x = \frac{5 π}{12}

$x = \frac{5 π}{12}$

x = \frac{5 π}{12}

$x = \frac{5 π}{12}$

x = \frac{5 π}{12}

$x = \frac{5 π}{12}$

Schritt 6

Ermittele die Periode von

\tan (3 x)

$\tan (3 x)$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

\frac{π}{| b |}

$\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

\frac{π}{| b |}

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze

b

$b$ durch

3

$3$ in der Formel für die Periode.

\frac{π}{| 3 |}

$\frac{π}{| 3 |}$

Schritt 6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

0

$0$ und

3

$3$ ist

3

$3$ .

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$

Schritt 7

Die Periode der Funktion

\tan (3 x)

$\tan (3 x)$ ist

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{3}

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{3}$ , für jede ganze Zahl

n

$n$

Schritt 8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}$ , für jede ganze Zahl

n

$n$