Trigonometrie Beispiele

$\tan (3 x) = 1$

Schritt 1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$3 x = \arctan (1)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$3 x = \frac{π}{4}$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{π}{4}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{π}{4}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 3.3.2

Multipliziere $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 3}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$x = \frac{π}{12}$

Schritt 4

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$3 x = π + \frac{π}{4}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$3 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 5.1.2

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 5.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 5.1.4

Addiere $π \cdot 4$ und $π$ .

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Schritt 5.1.4.1

Stelle $π$ und $4$ um.

$3 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 5.1.4.2

Addiere $4 \cdot π$ und $π$ .

$3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.3.2

Multipliziere $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{4}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 3}$

Schritt 5.2.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Schritt 6

Ermittele die Periode von $\tan (3 x)$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 3 |}$

Schritt 6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{π}{3}$

Schritt 7

Die Periode der Funktion $\tan (3 x)$ ist $\frac{π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$