Trigonometrie Beispiele

$\sec (\frac{π}{12})$

Schritt 1

Teile $\frac{π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\sec (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Schritt 2

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

$\frac{\sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6}) \csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6})}{\csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Schritt 3

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{4})$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \sec (\frac{π}{6}) \csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6})}{\csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Schritt 4

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{6})$ ist $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6})}{\csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Schritt 5

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{4})$ ist $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \csc (\frac{π}{6})}{\csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Schritt 6

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{6})$ ist $2$ .

$\frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Schritt 7

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{4})$ ist $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Schritt 8

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{6})$ ist $2$ .

$\frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Schritt 9

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{4})$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \sec (\frac{π}{6})}$

Schritt 10

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{6})$ ist $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 11

Vereinfache $\frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$ .

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 11.1.2

Kombiniere $\frac{2 \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{3}} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 11.1.3

Kombiniere $\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{3}}$ und $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \cdot \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 11.2.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 11.2.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 11.2.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 11.2.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 11.2.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 11.2.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 11.2.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 11.2.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 11.2.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 11.2.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 11.2.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 11.2.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 11.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 11.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \frac{1}{\sqrt{3}}}$

Schritt 11.2.5

Kombiniere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ und $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2}}$

Schritt 11.2.6

Kombiniere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

Schritt 11.2.7

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}$

Schritt 11.2.8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.8.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}$

Schritt 11.2.8.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}$

Schritt 11.2.8.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}$

Schritt 11.2.8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}$

Schritt 11.2.8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}$

Schritt 11.2.8.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 11.2.8.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Schritt 11.2.8.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Schritt 11.2.8.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}$

Schritt 11.2.8.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.8.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}$

Schritt 11.2.8.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}}$

Schritt 11.2.8.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3}}$

Schritt 11.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.9.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{3 \cdot 2}}{3}}$

Schritt 11.2.9.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 11.2.10

Um $2 \sqrt{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 11.2.11

Kombiniere $2 \sqrt{2}$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + \frac{2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 11.2.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2} \cdot 3 + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 11.2.13

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 11.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 11.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 11.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{2 \cdot 3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 11.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{6}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 11.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.5.1

Vereinige $\sqrt{2}$ und $\sqrt{6}$ zu einer einzigen Wurzel.

$\frac{8 \sqrt{\frac{2}{6}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 11.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 11.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{8 \sqrt{\frac{2 (1)}{6}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 11.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{8 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 11.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 11.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8 \sqrt{\frac{1}{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 11.5.3

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ um.

$\frac{8 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 11.5.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{8 \frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 11.5.5

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{8 (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 11.5.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.5.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 11.5.6.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 11.5.6.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 11.5.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 11.5.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 11.5.6.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 11.5.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 11.5.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 11.5.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 11.5.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.5.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 11.5.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 11.5.6.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 11.5.7

Kombiniere $8$ und $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{8 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 11.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}$

Schritt 11.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 11.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}$

Schritt 11.7.2

Forme den Ausdruck um.

$8 \sqrt{3} \frac{1}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}$

Schritt 11.8

Kombiniere $\frac{1}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}$ und $8$ .

$\frac{8}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}} \sqrt{3}$

Schritt 11.9

Kombiniere $\frac{8}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}$ und $\sqrt{3}$ .

$\frac{8 \sqrt{3}}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}$

Schritt 11.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}$ .

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Schritt 11.10.1

Faktorisiere $2$ aus $8 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{2 (4 \sqrt{3})}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}$

Schritt 11.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{6}}$

Schritt 11.10.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{6}$ heraus.

$\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2}) + 2 (\sqrt{6})}$

Schritt 11.10.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 \sqrt{2}) + 2 (\sqrt{6})$ heraus.

$\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2} + \sqrt{6})}$

Schritt 11.10.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2} + \sqrt{6})}$

Schritt 11.10.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}$

Schritt 11.11

Mutltipliziere $\frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ mit $\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}} \cdot \frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}$

Schritt 11.12

Mutltipliziere $\frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ mit $\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}{(3 \sqrt{2} + \sqrt{6}) (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}$

Schritt 11.13

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}{9 {\sqrt{2}}^{2} - 3 \sqrt{12} + 3 \sqrt{12} - {\sqrt{6}}^{2}}$

Schritt 11.14

Vereinfache.

$\frac{4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}{12}$

Schritt 11.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $12$ .

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Schritt 11.15.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})$ heraus.

$\frac{4 (\sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6}))}{12}$

Schritt 11.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.15.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{4 (\sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6}))}{4 \cdot 3}$

Schritt 11.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (\sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6}))}{4 \cdot 3}$

Schritt 11.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}{3}$

Schritt 11.16

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{3} (3 \sqrt{2}) + \sqrt{3} (- \sqrt{6})}{3}$

Schritt 11.17

Multipliziere $\sqrt{3} (3 \sqrt{2})$ .

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Schritt 11.17.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{3 \sqrt{3 \cdot 2} + \sqrt{3} (- \sqrt{6})}{3}$

Schritt 11.17.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{3 \sqrt{6} + \sqrt{3} (- \sqrt{6})}{3}$

Schritt 11.18

Multipliziere $\sqrt{3} (- \sqrt{6})$ .

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Schritt 11.18.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{3 \sqrt{6} - \sqrt{3 \cdot 6}}{3}$

Schritt 11.18.2

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\frac{3 \sqrt{6} - \sqrt{18}}{3}$

Schritt 11.19

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.19.1

Schreibe $18$ als $3^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 11.19.1.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$\frac{3 \sqrt{6} - \sqrt{9 (2)}}{3}$

Schritt 11.19.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{3 \sqrt{6} - \sqrt{3^{2} \cdot 2}}{3}$

Schritt 11.19.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 \sqrt{6} - (3 \sqrt{2})}{3}$

Schritt 11.19.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}{3}$

Schritt 11.20

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{2}$ und $3$ .

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Schritt 11.20.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{6}$ heraus.

$\frac{3 (\sqrt{6}) - 3 \sqrt{2}}{3}$

Schritt 11.20.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{3 (\sqrt{6}) + 3 (- \sqrt{2})}{3}$

Schritt 11.20.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (\sqrt{6}) + 3 (- \sqrt{2})$ heraus.

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{3}$

Schritt 11.20.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.20.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{3 (1)}$

Schritt 11.20.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{3 \cdot 1}$

Schritt 11.20.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{1}$

Schritt 11.20.4.4

Dividiere $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ durch $1$ .

$\sqrt{6} - \sqrt{2}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\sqrt{6} - \sqrt{2}$

Dezimalform:

$1.03527618 \dots$