Trigonometrie Beispiele

$\tan (2 x) = \frac{2}{\cot (x) - \tan (x)}$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\tan (2 x)$

Schritt 2

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Tangens an.

$\frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

Schritt 3

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 3.1

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \tan^{2} (x)}$

Schritt 3.2

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{1^{2} - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Schritt 4.2.2

Schreibe $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ als ${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ um.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{1^{2} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Schritt 4.2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Schritt 4.2.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{(\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Schritt 4.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Schritt 4.2.6

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} (\frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Schritt 4.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)}$ mit $\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) \cos (x)}}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.4.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}}$

Schritt 4.4.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}}$

Schritt 4.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{1 + 1}}}$

Schritt 4.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2}}}$

Schritt 4.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Schritt 4.6

Kombinieren.

$\frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)))}$

Schritt 4.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${\cos (x)}^{2}$ und $\cos (x)$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Schritt 5

Stelle die Terme um.

$\frac{2 \cos (x) \sin (x)}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Schritt 6

Schreibe $\frac{2 \cos (x) \sin (x)}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$ als $\frac{2}{\cot (x) - \tan (x)}$ um.

$\frac{2}{\cot (x) - \tan (x)}$

Schritt 7

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\tan (2 x) = \frac{2}{\cot (x) - \tan (x)}$ ist eine Identitätsgleichung