Trigonometrie Beispiele

$3 - 3 i$

Schritt 1

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 2

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 3

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = 3$ und $b = - 3$ .

$| z | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 3^{2}}$

Schritt 4

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 4.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{9 + 3^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{9 + 9}$

Schritt 4.3

Addiere $9$ und $9$ .

$| z | = \sqrt{18}$

Schritt 4.4

Schreibe $18$ als $3^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$| z | = \sqrt{9 (2)}$

Schritt 4.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Schritt 4.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| z | = 3 \sqrt{2}$

Schritt 5

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{- 3}{3})$

Schritt 6

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{- 3}{3}$ einen Winkel im vierten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Schritt 7

Substituiere die Werte von $θ = - \frac{π}{4}$ und $| z | = 3 \sqrt{2}$ .

$3 \sqrt{2} (\cos (- \frac{π}{4}) + i \sin (- \frac{π}{4}))$