Trigonometrie Beispiele

z = 2 + 5 i

$z = 2 + 5 i$

Schritt 1

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei

| z |

$| z |$ der Betrag und

θ

$θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 2

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei

z = a + b i

$z = a + b i$

Schritt 3

Ersetze die tatsächlichen Werte von

a = 2

$a = 2$ und

b = 5

$b = 5$ .

| z | = \sqrt{5^{2} + 2^{2}}

$| z | = \sqrt{5^{2} + 2^{2}}$

Schritt 4

Ermittle

| z |

$| z |$ .

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Schritt 4.1

Potenziere

5

$5$ mit

2

$2$ .

| z | = \sqrt{25 + 2^{2}}

$| z | = \sqrt{25 + 2^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

| z | = \sqrt{25 + 4}

$| z | = \sqrt{25 + 4}$

Schritt 4.3

Addiere

25

$25$ und

4

$4$ .

| z | = \sqrt{29}

$| z | = \sqrt{29}$

| z | = \sqrt{29}

$| z | = \sqrt{29}$

Schritt 5

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

θ = \arctan (\frac{5}{2})

$θ = \arctan (\frac{5}{2})$

Schritt 6

Da die Umkehrfunktion des Tangens von

\frac{5}{2}

$\frac{5}{2}$ einen Winkel im ersten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels

1.19028994

$1.19028994$ .

θ = 1.19028994

$θ = 1.19028994$

Schritt 7

Substituiere die Werte von

θ = 1.19028994

$θ = 1.19028994$ und

| z | = \sqrt{29}

$| z | = \sqrt{29}$ .

\sqrt{29} (\cos (1.19028994) + i \sin (1.19028994))

$\sqrt{29} (\cos (1.19028994) + i \sin (1.19028994))$

Schritt 8

Ersetze die rechte Seite der Gleichung durch die trigonometrische Form.

z = \sqrt{29} (\cos (1.19028994) + i \sin (1.19028994))

$z = \sqrt{29} (\cos (1.19028994) + i \sin (1.19028994))$