Trigonometrie Beispiele

$\tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})$

Schritt 1

Um $\frac{π}{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\tan (\frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4})$

Schritt 2

Um $\frac{π}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\tan (\frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{6}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\tan (\frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\tan (\frac{π \cdot 2}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\tan (\frac{π \cdot 2}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3})$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\tan (\frac{π \cdot 2}{12} + \frac{π \cdot 3}{12})$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\tan (\frac{π \cdot 2 + π \cdot 3}{12})$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$\tan (\frac{2 \cdot π + π \cdot 3}{12})$

Schritt 5.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$\tan (\frac{2 π + 3 \cdot π}{12})$

Schritt 5.3

Addiere $2 π$ und $3 π$ .

$\tan (\frac{5 π}{12})$

Schritt 6

Der genau Wert von $\tan (\frac{5 π}{12})$ ist $2 + \sqrt{3}$ .

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Schritt 6.1

Teile $\frac{5 π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})$

Schritt 6.2

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$\frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 6.3

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 6.4

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 6.5

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 6.6

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

Schritt 6.7

Vereinfache $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ .

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Schritt 6.7.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Schritt 6.7.1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.2

Kombinieren.

$\frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1)}{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Schritt 6.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Schritt 6.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Schritt 6.7.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Schritt 6.7.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Schritt 6.7.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.7.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Schritt 6.7.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Schritt 6.7.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.7.5.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ in den Zähler.

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

Schritt 6.7.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

Schritt 6.7.5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$

Schritt 6.7.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

Schritt 6.7.7

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

Schritt 6.7.8

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 6.7.9

Vereinfache.

$\frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Schritt 6.7.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.7.10.1

Stelle die Terme um.

$\frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Schritt 6.7.10.2

Potenziere $3 + \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Schritt 6.7.10.3

Potenziere $3 + \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} {(3 + \sqrt{3})}^{1}}{6}$

Schritt 6.7.10.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

Schritt 6.7.10.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{6}$

Schritt 6.7.11

Schreibe ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ als $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ um.

$\frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Schritt 6.7.12

Multipliziere $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.7.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Schritt 6.7.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Schritt 6.7.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 6.7.13

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.7.13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.7.13.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 6.7.13.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 6.7.13.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6}$

Schritt 6.7.13.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6}$

Schritt 6.7.13.1.5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6}$

Schritt 6.7.13.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Schritt 6.7.13.2

Addiere $9$ und $3$ .

$\frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 6.7.13.3

Addiere $3 \sqrt{3}$ und $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{12 + 6 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 6.7.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12 + 6 \sqrt{3}$ und $6$ .

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Schritt 6.7.14.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$\frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 6.7.14.2

Faktorisiere $6$ aus $6 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{6 \cdot 2 + 6 (\sqrt{3})}{6}$

Schritt 6.7.14.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (2) + 6 (\sqrt{3})$ heraus.

$\frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6}$

Schritt 6.7.14.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.7.14.4.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$\frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 (1)}$

Schritt 6.7.14.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

Schritt 6.7.14.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

Schritt 6.7.14.4.4

Dividiere $2 + \sqrt{3}$ durch $1$ .

$2 + \sqrt{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2 + \sqrt{3}$

Dezimalform:

$3.73205080 \dots$