Trigonometrie Beispiele

cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

x

$x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

x = arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von

arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})

$\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ ist

\frac{3 π}{4}

$\frac{3 π}{4}$ .

x = \frac{3 π}{4}

$x = \frac{3 π}{4}$

x = \frac{3 π}{4}

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von

2 π

$2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

x = 2 π - \frac{3 π}{4}

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Schritt 4

Vereinfache

2 π - \frac{3 π}{4}

$2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Schritt 4.1

2 π

$2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere

2 π

$2 π$ und

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere

4

$4$ mit

2

$2$ .

x = \frac{8 π - 3 π}{4}

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere

3 π

$3 π$ von

8 π

$8 π$ .

x = \frac{5 π}{4}

$x = \frac{5 π}{4}$

x = \frac{5 π}{4}

$x = \frac{5 π}{4}$

x = \frac{5 π}{4}

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 5

Ermittele die Periode von

cos (x)

$\cos (x)$ .

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Schritt 5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2

Ersetze

b

$b$ durch

1

$1$ in der Formel für die Periode.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

0

$0$ und

1

$1$ ist

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.4

Dividiere

2 π

$2 π$ durch

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Schritt 6

Die Periode der Funktion

cos (x)

$\cos (x)$ ist

2 π

$2 π$ , d. h., Werte werden sich alle

2 π

$2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

n

$n$