Trigonometrie Beispiele

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$2 x = \frac{π}{3}$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{3}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{3}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.3.2

Multipliziere $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$2 x = π - \frac{π}{3}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 5.1.2

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 5.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 5.1.4

Subtrahiere $π$ von $π \cdot 3$ .

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Schritt 5.1.4.1

Stelle $π$ und $3$ um.

$2 x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Schritt 5.1.4.2

Subtrahiere $π$ von $3 \cdot π$ .

$2 x = \frac{2 \cdot π}{3}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{2 \cdot π}{3}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{2 \cdot π}{3}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{2}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{2}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{2 \cdot π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot π$ heraus.

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 6

Ermittele die Periode von $\sin (2 x)$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 6.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 7

Die Periode der Funktion $\sin (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$