Trigonometrie Beispiele

\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

Schritt 1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit

a = \cos (θ)

$a = \cos (θ)$ und

b = \sin (θ)

$b = \sin (θ)$ .

(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))

$(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$

Schritt 2

Multipliziere

(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))

$(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

\cos (θ) (\cos (θ) - \sin (θ)) + \sin (θ) (\cos (θ) - \sin (θ))

$\cos (θ) (\cos (θ) - \sin (θ)) + \sin (θ) (\cos (θ) - \sin (θ))$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) + \sin (θ) (\cos (θ) - \sin (θ))

$\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) + \sin (θ) (\cos (θ) - \sin (θ))$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) + \sin (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))

$\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) + \sin (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))$

\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) + \sin (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))

$\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) + \sin (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in

\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) + \sin (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))

$\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) + \sin (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))$ .

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Schritt 3.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen

\cos (θ) (- \sin (θ))

$\cos (θ) (- \sin (θ))$ und

\sin (θ) \cos (θ)

$\sin (θ) \cos (θ)$ neu an.

\cos (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))

$\cos (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))$

Schritt 3.1.2

Addiere

- \cos (θ) \sin (θ)

$- \cos (θ) \sin (θ)$ und

\cos (θ) \sin (θ)

$\cos (θ) \sin (θ)$ .

\cos (θ) \cos (θ) + 0 + \sin (θ) (- \sin (θ))

$\cos (θ) \cos (θ) + 0 + \sin (θ) (- \sin (θ))$

Schritt 3.1.3

Addiere

\cos (θ) \cos (θ)

$\cos (θ) \cos (θ)$ und

0

$0$ .

\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))

$\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))$

\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))

$\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere

\cos (θ) \cos (θ)

$\cos (θ) \cos (θ)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Potenziere

\cos (θ)

$\cos (θ)$ mit

1

$1$ .

\cos^{1} (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))

$\cos^{1} (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere

\cos (θ)

$\cos (θ)$ mit

1

$1$ .

\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))

$\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))$

Schritt 3.2.1.3

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

{\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) (- \sin (θ))

${\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) (- \sin (θ))$

Schritt 3.2.1.4

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

\cos^{2} (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))

$\cos^{2} (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))$

\cos^{2} (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))

$\cos^{2} (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))$

Schritt 3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

\cos^{2} (θ) - \sin (θ) \sin (θ)

$\cos^{2} (θ) - \sin (θ) \sin (θ)$

Schritt 3.2.3

Multipliziere

- \sin (θ) \sin (θ)

$- \sin (θ) \sin (θ)$ .

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Schritt 3.2.3.1

Potenziere

\sin (θ)

$\sin (θ)$ mit

1

$1$ .

\cos^{2} (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin (θ))

$\cos^{2} (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin (θ))$

Schritt 3.2.3.2

Potenziere

\sin (θ)

$\sin (θ)$ mit

1

$1$ .

\cos^{2} (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ))

$\cos^{2} (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ))$

Schritt 3.2.3.3

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

\cos^{2} (θ) - {\sin (θ)}^{1 + 1}

$\cos^{2} (θ) - {\sin (θ)}^{1 + 1}$

Schritt 3.2.3.4

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

Schritt 4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

\cos (2 θ)

$\cos (2 θ)$