Trigonometrie Beispiele

$\tan (75)$

Schritt 1

Teile den Winkel zunächst in zwei Winkel auf, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind. In diesem Fall kann $75$ in $30 + 45$ aufgeteilt werden.

$\tan (30 + 45)$

Schritt 2

Benutze die Summenformel für den Tangens, um den Ausdruck zu vereinfachen. Die Formel besagt, dass $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (30) + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Der genau Wert von $\tan (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Schritt 3.2

Der genau Wert von $\tan (45)$ ist $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Schritt 3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{3}{3}}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\tan (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (45)}$

Schritt 4.2

Der genau Wert von $\tan (45)$ ist $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{\frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}$

Schritt 5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$(\sqrt{3} + 3) \frac{1}{3 - \sqrt{3}}$

Schritt 7

Mutltipliziere $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$(\sqrt{3} + 3) (\frac{1}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})$

Schritt 8

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$(\sqrt{3} + 3) \frac{3 + \sqrt{3}}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

Schritt 8.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$(\sqrt{3} + 3) \frac{3 + \sqrt{3}}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

$(\sqrt{3} + 3) \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Schritt 8.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6} + 3 \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Schritt 8.5

Kombiniere $\sqrt{3}$ und $\frac{3 + \sqrt{3}}{6}$ .

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} + 3 \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Schritt 8.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.6.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} + 3 \frac{3 + \sqrt{3}}{3 (2)}$

Schritt 8.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} + 3 \frac{3 + \sqrt{3}}{3 \cdot 2}$

Schritt 8.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Schritt 9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Schritt 9.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$\frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Schritt 9.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Schritt 9.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Schritt 9.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Schritt 9.4.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3 \sqrt{3} + 3}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Schritt 9.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 \sqrt{3} + 3$ und $6$ .

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Schritt 9.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{3 (\sqrt{3}) + 3}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Schritt 9.5.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (\sqrt{3}) + 3 (1)}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Schritt 9.5.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (\sqrt{3}) + 3 (1)$ heraus.

$\frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Schritt 9.5.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.5.4.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 (2)} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Schritt 9.5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 \cdot 2} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Schritt 9.5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{2} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Schritt 10

Vereinfache Terme.

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Schritt 10.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{3} + 1 + 3 + \sqrt{3}}{2}$

Schritt 10.2

Addiere $\sqrt{3}$ und $\sqrt{3}$ .

$\frac{1 + 3 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 10.3

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 10.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 + 2 \sqrt{3}$ und $2$ .

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Schritt 10.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 10.4.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{2}$

Schritt 10.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ heraus.

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2}$

Schritt 10.4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 (1)}$

Schritt 10.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

Schritt 10.4.4.4

Dividiere $2 + \sqrt{3}$ durch $1$ .

$2 + \sqrt{3}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2 + \sqrt{3}$

Dezimalform:

$3.73205080 \dots$