Trigonometrie Beispiele

$\cos (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1

Teile den Winkel zunächst in zwei Winkel auf, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind. In diesem Fall kann $\frac{5 π}{12}$ in $\frac{π}{6} + \frac{π}{4}$ aufgeteilt werden.

$\cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})$

Schritt 2

Wende die Summenformel für den Kosinus an, um den Ausdruck zu vereinfachen. Die Formel besagt, dass $\cos (A + B) = - (\cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B))$ .

$\cos (\frac{π}{4}) \cdot \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{π}{6})$

Schritt 3

Entferne die Klammern.

$\cos (\frac{π}{4}) \cdot \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{π}{6})$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{π}{6})$

Schritt 4.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{π}{6})$

Schritt 4.3

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{π}{6})$

Schritt 4.3.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{π}{6})$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{π}{6})$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{π}{6})$

Schritt 4.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{6})$

Schritt 4.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 4.6

Multipliziere $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Dezimalform:

$0.25881904 \dots$