Trigonometrie Beispiele

2 \cos (x) + \sqrt{3} = 0

$2 \cos (x) + \sqrt{3} = 0$

Schritt 1

Subtrahiere

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

2 \cos (x) = - \sqrt{3}

$2 \cos (x) = - \sqrt{3}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in

2 \cos (x) = - \sqrt{3}

$2 \cos (x) = - \sqrt{3}$ durch

2

$2$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in

2 \cos (x) = - \sqrt{3}

$2 \cos (x) = - \sqrt{3}$ durch

2

$2$ .

\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere

\cos (x)

$\cos (x)$ durch

1

$1$ .

\cos (x) = \frac{- \sqrt{3}}{2}

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

\cos (x) = \frac{- \sqrt{3}}{2}

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

\cos (x) = \frac{- \sqrt{3}}{2}

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

x

$x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von

\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})

$\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ ist

\frac{5 π}{6}

$\frac{5 π}{6}$ .

x = \frac{5 π}{6}

$x = \frac{5 π}{6}$

x = \frac{5 π}{6}

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 5

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von

2 π

$2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

x = 2 π - \frac{5 π}{6}

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Schritt 6

Vereinfache

2 π - \frac{5 π}{6}

$2 π - \frac{5 π}{6}$ .

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Schritt 6.1

2 π

$2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ .

x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Schritt 6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.1

Kombiniere

2 π

$2 π$ und

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ .

x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Schritt 6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere

6

$6$ mit

2

$2$ .

x = \frac{12 π - 5 π}{6}

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Schritt 6.3.2

Subtrahiere

5 π

$5 π$ von

12 π

$12 π$ .

x = \frac{7 π}{6}

$x = \frac{7 π}{6}$

x = \frac{7 π}{6}

$x = \frac{7 π}{6}$

x = \frac{7 π}{6}

$x = \frac{7 π}{6}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von

\cos (x)

$\cos (x)$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze

b

$b$ durch

1

$1$ in der Formel für die Periode.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

0

$0$ und

1

$1$ ist

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 7.4

Dividiere

2 π

$2 π$ durch

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Schritt 8

Die Periode der Funktion

\cos (x)

$\cos (x)$ ist

2 π

$2 π$ , d. h., Werte werden sich alle

2 π

$2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

n

$n$