Trigonometrie Beispiele

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2} = 1 + \sin (2 x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ als $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ um.

$(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$

Schritt 2.2

Multipliziere $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Multipliziere $\sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)$

Schritt 2.3.1.1.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)$

Schritt 2.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)$

Schritt 2.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

Schritt 2.3.1.2.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

Schritt 2.3.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)$

Schritt 2.3.2

Stelle die Faktoren von $\sin (x) \cos (x)$ um.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)$

Schritt 2.3.3

Addiere $\cos (x) \sin (x)$ und $\cos (x) \sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)$

Schritt 2.4

Bewege $\cos^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 2.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 + 2 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 2.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.1

Stelle $2 \cos (x)$ und $\sin (x)$ um.

$1 + \sin (x) (2 \cos (x))$

Schritt 2.6.2

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Schritt 2.6.3

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$1 + \sin (2 x)$

Schritt 3

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2} = 1 + \sin (2 x)$ ist eine Identitätsgleichung