Trigonometrie Beispiele

${(\cos (θ) - \sin (θ))}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(\cos (θ) - \sin (θ))}^{2}$ als $(\cos (θ) - \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$ um.

$(\cos (θ) - \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$

Schritt 2

Multipliziere $(\cos (θ) - \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (θ) (\cos (θ) - \sin (θ)) - \sin (θ) (\cos (θ) - \sin (θ))$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - \sin (θ) (\cos (θ) - \sin (θ))$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - \sin (θ) \cos (θ) - \sin (θ) (- \sin (θ))$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Multipliziere $\cos (θ) \cos (θ)$ .

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Schritt 3.1.1.1

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - \sin (θ) \cos (θ) - \sin (θ) (- \sin (θ))$

Schritt 3.1.1.2

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - \sin (θ) \cos (θ) - \sin (θ) (- \sin (θ))$

Schritt 3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\cos (θ)}^{1 + 1} + \cos (θ) (- \sin (θ)) - \sin (θ) \cos (θ) - \sin (θ) (- \sin (θ))$

Schritt 3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - \sin (θ) \cos (θ) - \sin (θ) (- \sin (θ))$

Schritt 3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\cos^{2} (θ) - \cos (θ) \sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \sin (θ) (- \sin (θ))$

Schritt 3.1.3

Multipliziere $- \sin (θ) (- \sin (θ))$ .

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Schritt 3.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\cos^{2} (θ) - \cos (θ) \sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ) + 1 \sin (θ) \sin (θ)$

Schritt 3.1.3.2

Mutltipliziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (θ) - \cos (θ) \sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \sin (θ)$

Schritt 3.1.3.3

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (θ) - \cos (θ) \sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ) + \sin^{1} (θ) \sin (θ)$

Schritt 3.1.3.4

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (θ) - \cos (θ) \sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ) + \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)$

Schritt 3.1.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos^{2} (θ) - \cos (θ) \sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ) + {\sin (θ)}^{1 + 1}$

Schritt 3.1.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (θ) - \cos (θ) \sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ) + \sin^{2} (θ)$

Schritt 3.2

Stelle die Faktoren von $- \sin (θ) \cos (θ)$ um.

$\cos^{2} (θ) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + \sin^{2} (θ)$

Schritt 3.3

Subtrahiere $\cos (θ) \sin (θ)$ von $- \cos (θ) \sin (θ)$ .

$\cos^{2} (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ) + \sin^{2} (θ)$

Schritt 4

Bewege $\sin^{2} (θ)$ .

$\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Schritt 5

Ordne Terme um.

$\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Schritt 6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ)$