Trigonometrie Beispiele

$\sin (3 x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$3 x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $- \frac{π}{3}$ .

$3 x = - \frac{π}{3}$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - \frac{π}{3}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - \frac{π}{3}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{3}}{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{3}}{3}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{3}}{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 3.3.2

Multipliziere $- \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x = - \frac{π}{9}$

Schritt 4

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$3 x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$3 x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Schritt 5.2

Der resultierende Winkel von $\frac{4 π}{3}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$3 x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{4 π}{3}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{4 π}{3}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{4 π}{3}}{3}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{4 π}{3}}{3}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 5.3.3.2

Multipliziere $\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{4 π}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{4 π}{3 \cdot 3}$

Schritt 5.3.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x = \frac{4 π}{9}$

Schritt 6

Ermittele die Periode von $\sin (3 x)$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Schritt 6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 7

Addiere $\frac{2 π}{3}$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 7.1

Addiere $\frac{2 π}{3}$ zu $- \frac{π}{9}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{9} + \frac{2 π}{3}$

Schritt 7.2

Um $\frac{2 π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{9}$

Schritt 7.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 π}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{π}{9}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{9} - \frac{π}{9}$

Schritt 7.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{9}$

Schritt 7.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 π - π}{9}$

Schritt 7.5.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$\frac{5 π}{9}$

Schritt 7.6

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{5 π}{9}$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\sin (3 x)$ ist $\frac{2 π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{2 π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{4 π}{9} + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$