Trigonometrie Beispiele

$\tan^{5} (x) - 9 \tan (x) = 0$

Schritt 1

Faktorisiere $\tan^{5} (x) - 9 \tan (x)$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $\tan^{5} (x) - 9 \tan (x)$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $\tan^{5} (x)$ heraus.

$\tan (x) \tan^{4} (x) - 9 \tan (x) = 0$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $- 9 \tan (x)$ heraus.

$\tan (x) \tan^{4} (x) + \tan (x) \cdot - 9 = 0$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $\tan (x) \tan^{4} (x) + \tan (x) \cdot - 9$ heraus.

$\tan (x) (\tan^{4} (x) - 9) = 0$

Schritt 1.2

Schreibe $\tan^{4} (x)$ als ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ um.

$\tan (x) ({(\tan^{2} (x))}^{2} - 9) = 0$

Schritt 1.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\tan (x) ({(\tan^{2} (x))}^{2} - 3^{2}) = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere.

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Schritt 1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \tan^{2} (x)$ und $b = 3$ .

$\tan (x) ((\tan^{2} (x) + 3) (\tan^{2} (x) - 3)) = 0$

Schritt 1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$\tan (x) (\tan^{2} (x) + 3) (\tan^{2} (x) - 3) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\tan (x) = 0$

$\tan^{2} (x) + 3 = 0$

$\tan^{2} (x) - 3 = 0$

Schritt 3

Setze $\tan (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\tan (x)$ gleich $0$ .

$\tan (x) = 0$

Schritt 3.2

Löse $\tan (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (0)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.2.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + 0$

Schritt 3.2.4

Addiere $π$ und $0$ .

$x = π$

Schritt 3.2.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 3.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 3.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 3.2.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 3.2.6

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π n, π + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Setze $\tan^{2} (x) + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\tan^{2} (x) + 3$ gleich $0$ .

$\tan^{2} (x) + 3 = 0$

Schritt 4.2

Löse $\tan^{2} (x) + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\tan^{2} (x) = - 3$

Schritt 4.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 3}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Schritt 4.2.3.1

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Schritt 4.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Schritt 4.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$\tan (x) = \pm i \sqrt{3}$

Schritt 4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\tan (x) = i \sqrt{3}$

Schritt 4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\tan (x) = - i \sqrt{3}$

Schritt 4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\tan (x) = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Schritt 4.2.5

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\tan (x) = i \sqrt{3}$

$\tan (x) = - i \sqrt{3}$

Schritt 4.2.6

Löse in $\tan (x) = i \sqrt{3}$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.6.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (i \sqrt{3})$

Schritt 4.2.6.2

Die inverse Tangente von $\arctan (i \sqrt{3})$ ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.2.7

Löse in $\tan (x) = - i \sqrt{3}$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.7.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- i \sqrt{3})$

Schritt 4.2.7.2

Die inverse Tangente von $\arctan (- i \sqrt{3})$ ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.2.8

Liste alle Lösungen auf.

Keine Lösung

Schritt 5

Setze $\tan^{2} (x) - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $\tan^{2} (x) - 3$ gleich $0$ .

$\tan^{2} (x) - 3 = 0$

Schritt 5.2

Löse $\tan^{2} (x) - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\tan^{2} (x) = 3$

Schritt 5.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\tan (x) = \pm \sqrt{3}$

Schritt 5.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Schritt 5.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Schritt 5.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 5.2.4

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\tan (x) = \sqrt{3}$

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Schritt 5.2.5

Löse in $\tan (x) = \sqrt{3}$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.5.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Schritt 5.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.5.2.1

Der genau Wert von $\arctan (\sqrt{3})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 5.2.5.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + \frac{π}{3}$

Schritt 5.2.5.4

Vereinfache $π + \frac{π}{3}$ .

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Schritt 5.2.5.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 5.2.5.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.5.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 5.2.5.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Schritt 5.2.5.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.5.4.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Schritt 5.2.5.4.3.2

Addiere $3 π$ und $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 5.2.5.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 5.2.5.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 5.2.5.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.5.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 5.2.5.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 5.2.5.6

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5.2.6

Löse in $\tan (x) = - \sqrt{3}$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.6.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

Schritt 5.2.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.6.2.1

Der genau Wert von $\arctan (- \sqrt{3})$ ist $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Schritt 5.2.6.3

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - \frac{π}{3} - π$

Schritt 5.2.6.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 5.2.6.4.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Schritt 5.2.6.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{2 π}{3}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 5.2.6.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 5.2.6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 5.2.6.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 5.2.6.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 5.2.6.6

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 5.2.6.6.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{3}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{3} + π$

Schritt 5.2.6.6.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 5.2.6.6.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.6.6.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 5.2.6.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 5.2.6.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.6.6.4.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Schritt 5.2.6.6.4.2

Subtrahiere $π$ von $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 5.2.6.6.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 5.2.6.7

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5.2.7

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5.2.8

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 5.2.8.1

Führe $\frac{π}{3} + π n$ und $\frac{4 π}{3} + π n$ zu $\frac{π}{3} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5.2.8.2

Führe $\frac{2 π}{3} + π n$ und $\frac{2 π}{3} + π n$ zu $\frac{2 π}{3} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\tan (x) (\tan^{2} (x) + 3) (\tan^{2} (x) - 3) = 0$ wahr machen.

$x = π n, π + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$