Trigonometrie Beispiele

$2 \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 2$

Schritt 1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) - 2 = 0$

Schritt 2

Vereinfache $2 \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) - 2$ .

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Schritt 2.1

Bewege $- 2$ .

$2 \sin^{2} (x) - 2 - \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 2.2

Stelle $2 \sin^{2} (x)$ und $- 2$ um.

$- 2 + 2 \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2$ heraus.

$- 2 (1) + 2 \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere $- 2$ aus $2 \sin^{2} (x)$ heraus.

$- 2 (1) - 2 (- \sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (1) - 2 (- \sin^{2} (x))$ heraus.

$- 2 (1 - \sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 2.6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$- 2 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 2.7

Subtrahiere $\cos^{2} (x)$ von $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$- 3 \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \cos^{2} (x) = 0$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \cos^{2} (x) = 0$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 \cos^{2} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 \cos^{2} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Schritt 3.1.2.1.2

Dividiere $\cos^{2} (x)$ durch $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{0}{- 3}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $- 3$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

Schritt 3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\cos (x) = \pm \sqrt{0}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 3.3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\cos (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\cos (x) = \pm 0$

Schritt 3.3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$\cos (x) = 0$

Schritt 3.4

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 3.5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $90$ .

$x = 90$

Schritt 3.6

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $360$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 360 - 90$

Schritt 3.7

Subtrahiere $90$ von $360$ .

$x = 270$

Schritt 3.8

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 3.8.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 3.8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 3.8.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 3.9

Die Periode der $\cos (x)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$x = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = 90 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$