Trigonometrie Beispiele

$\tan (θ) = 2$ , $\sin (θ) < 0$

Schritt 1

The sine function is negative in the third and fourth quadrants. The tangent function is positive in the first and third quadrants. The set of solutions for $θ$ are limited to the third quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

Die Lösung liegt im dritten Quadranten.

Schritt 2

Benutze die Definition des Tangens, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\tan (θ) = \frac{gegenüber}{Ankathete}$

Schritt 3

Berechne die Hypotenuse des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Gegenkathete und die Ankathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Hypotenuse = \sqrt{{gegenüber}^{2} + {Ankathete}^{2}}$

Schritt 4

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Hypotenuse = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 5.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

Hypothenuse $= \sqrt{4 + {(- 1)}^{2}}$

Schritt 5.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

Hypothenuse $= \sqrt{4 + 1}$

Schritt 5.3

Addiere $4$ und $1$ .

Hypothenuse $= \sqrt{5}$

Schritt 6

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 6.1

Bestimme den Wert von $\sin (θ)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (θ) = \frac{- 2}{\sqrt{5}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Wert von $\sin (θ)$ .

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Schritt 6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (θ) = - \frac{2}{\sqrt{5}}$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Schritt 6.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 6.3.3.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 6.3.3.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 6.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 6.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 6.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 6.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 7

Berechne den Wert des Kosinus.

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Schritt 7.1

Bestimme den Wert von $\cos (θ)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (θ) = \frac{- 1}{\sqrt{5}}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Wert von $\cos (θ)$ .

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Schritt 7.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (θ) = - \frac{1}{\sqrt{5}}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cos (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Schritt 7.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 7.3.3.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 7.3.3.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 7.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 7.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 7.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Schritt 7.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\cot (θ)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (θ) = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 8.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\cot (θ) = \frac{1}{2}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\sec (θ)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Wert von $\sec (θ)$ .

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Schritt 9.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{5}}{- 1}$ .

$\sec (θ) = - 1 \cdot \sqrt{5}$

Schritt 9.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \sqrt{5}$ als $- \sqrt{5}$ um.

$\sec (θ) = - \sqrt{5}$

Schritt 10

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 10.1

Bestimme den Wert von $\csc (θ)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 10.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{5}}{- 2}$

Schritt 10.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$

Schritt 11

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\tan (θ) = 2$

$\cot (θ) = \frac{1}{2}$

$\sec (θ) = - \sqrt{5}$

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$