Trigonometrie Beispiele

$2 \sin (x) \tan (x) + \tan (x) = 0$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$2 \sin (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \tan (x) = 0$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $2 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Schritt 1.1.2.1

Kombiniere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ und $2$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)} \cdot \sin (x) + \tan (x) = 0$

Schritt 1.1.2.2

Kombiniere $\frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)}$ und $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cdot (2 \sin (x))}{\cos (x)} + \tan (x) = 0$

Schritt 1.1.2.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + \tan (x) = 0$

Schritt 1.1.2.4

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + \tan (x) = 0$

Schritt 1.1.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \tan (x) = 0$

Schritt 1.1.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \tan (x) = 0$

Schritt 1.1.3

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 1.2.2

Separiere Brüche.

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 1.2.3

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 1.2.4

Dividiere $2 (\sin (x))$ durch $1$ .

$2 (\sin (x)) \tan (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 1.2.5

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$2 \sin (x) \tan (x) + \tan (x) = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $2 \sin (x) \tan (x) + \tan (x)$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $2 \sin (x) \tan (x)$ heraus.

$\tan (x) (2 \sin (x)) + \tan (x) = 0$

Schritt 2.2

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\tan (x) (2 \sin (x)) + \tan (x) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $\tan^{1} (x)$ heraus.

$\tan (x) (2 \sin (x)) + \tan (x) \cdot 1 = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $\tan (x) (2 \sin (x)) + \tan (x) \cdot 1$ heraus.

$\tan (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\tan (x) = 0$

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Schritt 4

Setze $\tan (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\tan (x)$ gleich $0$ .

$\tan (x) = 0$

Schritt 4.2

Löse $\tan (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (0)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.2.3

Die Tangensfunktion ist positiv im ersten und dritten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 180 + 0$

Schritt 4.2.4

Addiere $180$ und $0$ .

$x = 180$

Schritt 4.2.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 4.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{180}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{180}{| b |}$

Schritt 4.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{180}{| 1 |}$

Schritt 4.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{180}{1}$

Schritt 4.2.5.4

Dividiere $180$ durch $1$ .

$180$

Schritt 4.2.6

Die Periode der $\tan (x)$ -Funktion ist $180$ , sodass sich die Werte alle $180$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$x = 180 n, 180 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Setze $2 \sin (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $2 \sin (x) + 1$ gleich $0$ .

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $2 \sin (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin (x) = - 1$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (x) = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (x) = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Schritt 5.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{1}{2})$ ist $- 30$ .

$x = - 30$

Schritt 5.2.5

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $360$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $180$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 360 + 30 + 180$

Schritt 5.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 5.2.6.1

Subtrahiere $360 °$ von $360 + 30 + 180 °$ .

$x = 360 + 30 + 180 ° - 360 °$

Schritt 5.2.6.2

Der resultierende Winkel von $210 °$ ist positiv, kleiner als $360 °$ und gleich $360 + 30 + 180$ .

$x = 210 °$

Schritt 5.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 5.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 5.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 5.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 5.2.7.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 5.2.8

Addiere $360$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 5.2.8.1

Addiere $360$ zu $- 30$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 30 + 360$

Schritt 5.2.8.2

Subtrahiere $30$ von $360$ .

$330$

Schritt 5.2.8.3

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 330$

Schritt 5.2.9

Die Periode der $\sin (x)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$x = 210 + 360 n, 330 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\tan (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 180 n, 180 + 180 n, 210 + 360 n, 330 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Führe $180 n$ und $180 + 180 n$ zu $180 n$ zusammen.

$x = 180 n, 210 + 360 n, 330 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$