Trigonometrie Beispiele

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 6 \\ c = & 10 \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Schritt 1

Nehme an, dass der Winkel $C = 90$ .

$C = 90$

Schritt 2

Berechne die übrig gebliebene Seite unter Anwendung des Satzes von Pythagoras.

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Schritt 2.1

Wende den Satz des Pythagoras an, um die unbekannte Seite zu bestimmen. In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des Quadrates, dessen Seite die Hypotenuse (die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks gegenüber dem rechten Winkel) ist, gleich der Summe der Flächen der Quadrate, deren Seiten die beiden Schenkel sind (die zwei Seiten, die nicht die Hypotenuse sind).

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung nach $a$ auf.

$a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}$

Schritt 2.3

Setze die tatsächlichen Werte in die Gleichung ein.

$a = \sqrt{{(10)}^{2} - {(6)}^{2}}$

Schritt 2.4

Potenziere $10$ mit $2$ .

$a = \sqrt{100 - {(6)}^{2}}$

Schritt 2.5

Potenziere $6$ mit $2$ .

$a = \sqrt{100 - 1 \cdot 36}$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$a = \sqrt{100 - 36}$

Schritt 2.7

Subtrahiere $36$ von $100$ .

$a = \sqrt{64}$

Schritt 2.8

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$a = \sqrt{8^{2}}$

Schritt 2.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$a = 8$

Schritt 3

Ermittle $B$ .

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Schritt 3.1

Der Winkel $B$ kann durch Anwendung der inversen Sinusfunktion ermittelt werden.

$B = \arcsin (\frac{opp}{hyp})$

Schritt 3.2

Setze die Werte der Gegenkathete des Winkels $B$ und der Hypotenuse $10$ des Dreiecks ein.

$B = \arcsin (\frac{6}{10})$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $10$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$B = \arcsin (\frac{2 (3)}{10})$

Schritt 3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$B = \arcsin (\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 5})$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$B = \arcsin (\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 5})$

Schritt 3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$B = \arcsin (\frac{3}{5})$

Schritt 3.4

Berechne $\arcsin (\frac{3}{5})$ .

$B = 36.86989764$

Schritt 4

Bestimme den verbleibenden Winkel des Dreiecks.

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Schritt 4.1

Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist $180$ Grad.

$A + 90 + 36.86989764 = 180$

Schritt 4.2

Löse die Gleichung nach $A$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $90$ und $36.86989764$ .

$A + 126.86989764 = 180$

Schritt 4.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $A$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $126.86989764$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = 180 - 126.86989764$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $126.86989764$ von $180$ .

$A = 53.13010235$

Schritt 5

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

$A = 53.13010235$

$B = 36.86989764$

$C = 90$

$a = 8$

$b = 6$

$c = 10$