Trigonometrie Beispiele

$9 \cos^{2} (θ) - 24 \sin (θ) - 10 = - 8 \sin (θ) + 6$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $8 \sin (θ)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 \cos^{2} (θ) - 24 \sin (θ) - 10 + 8 \sin (θ) = 6$

Schritt 1.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 \cos^{2} (θ) - 24 \sin (θ) - 10 + 8 \sin (θ) - 6 = 0$

Schritt 2

Vereinfache $9 \cos^{2} (θ) - 24 \sin (θ) - 10 + 8 \sin (θ) - 6$ .

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Schritt 2.1

Addiere $- 24 \sin (θ)$ und $8 \sin (θ)$ .

$9 \cos^{2} (θ) - 10 - 16 \sin (θ) - 6 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $6$ von $- 10$ .

$9 \cos^{2} (θ) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

Schritt 3

Ersetze die $9 \cos^{2} (θ)$ durch $9 (1 - \sin^{2} (θ))$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$9 (1 - \sin^{2} (θ)) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$9 \cdot 1 + 9 (- \sin^{2} (θ)) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$9 + 9 (- \sin^{2} (θ)) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$9 - 9 \sin^{2} (θ) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

Schritt 5

Subtrahiere $16$ von $9$ .

$- 9 \sin^{2} (θ) - 7 - 16 \sin (θ) = 0$

Schritt 6

Stelle das Polynom um.

$- 9 \sin^{2} (θ) - 16 \sin (θ) - 7 = 0$

Schritt 7

Ersetze $\sin (θ)$ durch $u$ .

$- 9 {(u)}^{2} - 16 u - 7 = 0$

Schritt 8

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 9 u^{2} - 16 u - 7$ heraus.

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 9 u^{2}$ heraus.

$- (9 u^{2}) - 16 u - 7 = 0$

Schritt 8.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 16 u$ heraus.

$- (9 u^{2}) - (16 u) - 7 = 0$

Schritt 8.1.3

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$- (9 u^{2}) - (16 u) - 1 \cdot 7 = 0$

Schritt 8.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (9 u^{2}) - (16 u)$ heraus.

$- (9 u^{2} + 16 u) - 1 \cdot 7 = 0$

Schritt 8.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (9 u^{2} + 16 u) - 1 (7)$ heraus.

$- (9 u^{2} + 16 u + 7) = 0$

Schritt 8.2

Faktorisiere.

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 8.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 9 \cdot 7 = 63$ und deren Summe gleich $b = 16$ ist.

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Schritt 8.2.1.1.1

Faktorisiere $16$ aus $16 u$ heraus.

$- (9 u^{2} + 16 u + 7) = 0$

Schritt 8.2.1.1.2

Schreibe $16$ um als $7$ plus $9$

$- (9 u^{2} + (7 + 9) u + 7) = 0$

Schritt 8.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (9 u^{2} + 7 u + 9 u + 7) = 0$

Schritt 8.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 8.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- (9 u^{2} + 7 u + 9 u + 7) = 0$

Schritt 8.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (u (9 u + 7) + 1 (9 u + 7)) = 0$

Schritt 8.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $9 u + 7$ .

$- ((9 u + 7) (u + 1)) = 0$

Schritt 8.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (9 u + 7) (u + 1) = 0$

Schritt 9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$9 u + 7 = 0$

$u + 1 = 0$

Schritt 10

Setze $9 u + 7$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $9 u + 7$ gleich $0$ .

$9 u + 7 = 0$

Schritt 10.2

Löse $9 u + 7 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 u = - 7$

Schritt 10.2.2

Teile jeden Ausdruck in $9 u = - 7$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 10.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 u = - 7$ durch $9$ .

$\frac{9 u}{9} = \frac{- 7}{9}$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 10.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 u}{9} = \frac{- 7}{9}$

Schritt 10.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{- 7}{9}$

Schritt 10.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{7}{9}$

Schritt 11

Setze $u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $u + 1$ gleich $0$ .

$u + 1 = 0$

Schritt 11.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 1$

Schritt 12

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (9 u + 7) (u + 1) = 0$ wahr machen.

$u = - \frac{7}{9}, - 1$

Schritt 13

Ersetze $u$ durch $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = - \frac{7}{9}, - 1$

Schritt 14

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $θ$ aufzulösen.

$\sin (θ) = - \frac{7}{9}$

$\sin (θ) = - 1$

Schritt 15

Löse in $\sin (θ) = - \frac{7}{9}$ nach $θ$ auf.

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Schritt 15.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$θ = \arcsin (- \frac{7}{9})$

Schritt 15.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 15.2.1

Berechne $\arcsin (- \frac{7}{9})$ .

$θ = - 51.05755873$

Schritt 15.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $360$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $180$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$θ = 360 + 51.05755873 + 180$

Schritt 15.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 15.4.1

Subtrahiere $360 °$ von $360 + 51.05755873 + 180 °$ .

$θ = 360 + 51.05755873 + 180 ° - 360 °$

Schritt 15.4.2

Der resultierende Winkel von $231.05755873 °$ ist positiv, kleiner als $360 °$ und gleich $360 + 51.05755873 + 180$ .

$θ = 231.05755873 °$

Schritt 15.5

Ermittele die Periode von $\sin (θ)$ .

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Schritt 15.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 15.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 15.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 15.5.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 15.6

Addiere $360$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 15.6.1

Addiere $360$ zu $- 51.05755873$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 51.05755873 + 360$

Schritt 15.6.2

Subtrahiere $51.05755873$ von $360$ .

$308.94244126$

Schritt 15.6.3

Liste die neuen Winkel auf.

$θ = 308.94244126$

Schritt 15.7

Die Periode der $\sin (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 231.05755873 + 360 n, 308.94244126 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 16

Löse in $\sin (θ) = - 1$ nach $θ$ auf.

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Schritt 16.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$θ = \arcsin (- 1)$

Schritt 16.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 16.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- 90$ .

$θ = - 90$

Schritt 16.3

$θ = 360 + 90 + 180$

Schritt 16.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 16.4.1

Subtrahiere $360 °$ von $360 + 90 + 180 °$ .

$θ = 360 + 90 + 180 ° - 360 °$

Schritt 16.4.2

Der resultierende Winkel von $270 °$ ist positiv, kleiner als $360 °$ und gleich $360 + 90 + 180$ .

$θ = 270 °$

Schritt 16.5

Ermittele die Periode von $\sin (θ)$ .

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Schritt 16.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 16.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 16.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 16.5.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 16.6

Addiere $360$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 16.6.1

Addiere $360$ zu $- 90$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 90 + 360$

Schritt 16.6.2

Subtrahiere $90$ von $360$ .

$270$

Schritt 16.6.3

Liste die neuen Winkel auf.

$θ = 270$

Schritt 16.7

Die Periode der $\sin (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 270 + 360 n, 270 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 17

Liste alle Lösungen auf.

$θ = 231.05755873 + 360 n, 308.94244126 + 360 n, 270 + 360 n, 270 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 18

Führe $270 + 360 n$ und $270 + 360 n$ zu $270 + 360 n$ zusammen.

$θ = 231.05755873 + 360 n, 308.94244126 + 360 n, 270 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$