Trigonometrie Beispiele

$\tan (A) = \tan (A) \cdot \csc^{2} (A) + \cot (- A)$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$\tan (A) \cdot \csc^{2} (A) + \cot (- A)$

Schritt 2

Da $\cot (- A)$ eine ungerade Funktion ist, schreibe $\cot (- A)$ als $- \cot (A)$ .

$\tan (A) \cdot \csc^{2} (A) - \cot (A)$

Schritt 3

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$\tan (A) \cdot (1 + \cot^{2} (A)) - \cot (A)$

Schritt 4

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 4.1

Schreibe $\tan (A)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot (1 + \cot^{2} (A)) - \cot (A)$

Schritt 4.2

Schreibe $\cot (A)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot (1 + {(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2}) - \cot (A)$

Schritt 4.3

Schreibe $\cot (A)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot (1 + {(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2}) - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Schritt 4.4

Wende die Produktregel auf $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ an.

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot (1 + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}) - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot 1 + \frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot \frac{{\cos (A)}^{2}}{{\sin (A)}^{2}} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $\frac{\sin (A)}{\cos (A)}$ mit $1$ .

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot \frac{{\cos (A)}^{2}}{{\sin (A)}^{2}} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Schritt 5.1.3

Kombinieren.

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\sin (A) {\cos (A)}^{2}}{\cos (A) {\sin (A)}^{2}} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Schritt 5.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sin (A)$ und ${\sin (A)}^{2}$ .

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Schritt 5.1.4.1.1

Faktorisiere $\sin (A)$ aus $\sin (A) {\cos (A)}^{2}$ heraus.

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\sin (A) ({\cos (A)}^{2})}{\cos (A) {\sin (A)}^{2}} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Schritt 5.1.4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.4.1.2.1

Faktorisiere $\sin (A)$ aus $\cos (A) {\sin (A)}^{2}$ heraus.

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\sin (A) ({\cos (A)}^{2})}{\sin (A) (\cos (A) \sin (A))} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Schritt 5.1.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\sin (A) {\cos (A)}^{2}}{\sin (A) (\cos (A) \sin (A))} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Schritt 5.1.4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{{\cos (A)}^{2}}{\cos (A) \sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Schritt 5.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${\cos (A)}^{2}$ und $\cos (A)$ .

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Schritt 5.1.4.2.1

Faktorisiere $\cos (A)$ aus ${\cos (A)}^{2}$ heraus.

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A) \cos (A)}{\cos (A) \sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Schritt 5.1.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.4.2.2.1

Faktorisiere $\cos (A)$ aus $\cos (A) \sin (A)$ heraus.

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A) \cos (A)}{\cos (A) (\sin (A))} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Schritt 5.1.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A) \cos (A)}{\cos (A) \sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Schritt 5.1.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Schritt 5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A) - \cos (A)}{\sin (A)}$

Schritt 5.3

Subtrahiere $\cos (A)$ von $\cos (A)$ .

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{0}{\sin (A)}$

Schritt 5.4

Dividiere $0$ durch $\sin (A)$ .

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + 0$

Schritt 5.5

Addiere $\frac{\sin (A)}{\cos (A)}$ und $0$ .

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)}$

Schritt 6

Schreibe $\frac{\sin (A)}{\cos (A)}$ als $\tan (A)$ um.

$\tan (A)$

Schritt 7

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\tan (A) = \tan (A) \cdot \csc^{2} (A) + \cot (- A)$ ist eine Identitätsgleichung