Trigonometrie Beispiele

$(\sec (B) + \tan (B)) (1 - \sin (B)) = \cos (B)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$(\sec (B) + \tan (B)) (1 - \sin (B))$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $\sec (B)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(\frac{1}{\cos (B)} + \tan (B)) (1 - \sin (B))$

Schritt 2.1.2

Schreibe $\tan (B)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(\frac{1}{\cos (B)} + \frac{\sin (B)}{\cos (B)}) (1 - \sin (B))$

Schritt 2.2

Multipliziere $(\frac{1}{\cos (B)} + \frac{\sin (B)}{\cos (B)}) (1 - \sin (B))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\cos (B)} (1 - \sin (B)) + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} (1 - \sin (B))$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\cos (B)} \cdot 1 + \frac{1}{\cos (B)} (- \sin (B)) + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} (1 - \sin (B))$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\cos (B)} \cdot 1 + \frac{1}{\cos (B)} (- \sin (B)) + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} \cdot 1 + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} (- \sin (B))$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (B)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos (B)} + \frac{1}{\cos (B)} (- \sin (B)) + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} \cdot 1 + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} (- \sin (B))$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{\cos (B)} - \frac{1}{\cos (B)} \sin (B) + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} \cdot 1 + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} (- \sin (B))$

Schritt 2.3.1.3

Kombiniere $\sin (B)$ und $\frac{1}{\cos (B)}$ .

$\frac{1}{\cos (B)} - \frac{\sin (B)}{\cos (B)} + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} \cdot 1 + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} (- \sin (B))$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $\frac{\sin (B)}{\cos (B)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos (B)} - \frac{\sin (B)}{\cos (B)} + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} (- \sin (B))$

Schritt 2.3.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{\cos (B)} - \frac{\sin (B)}{\cos (B)} + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} - \frac{\sin (B)}{\cos (B)} \sin (B)$

Schritt 2.3.1.6

Multipliziere $- \frac{\sin (B)}{\cos (B)} \sin (B)$ .

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Schritt 2.3.1.6.1

Kombiniere $\sin (B)$ und $\frac{\sin (B)}{\cos (B)}$ .

$\frac{1}{\cos (B)} - \frac{\sin (B)}{\cos (B)} + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} - \frac{\sin (B) \sin (B)}{\cos (B)}$

Schritt 2.3.1.6.2

Potenziere $\sin (B)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos (B)} - \frac{\sin (B)}{\cos (B)} + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} - \frac{\sin^{1} (B) \sin (B)}{\cos (B)}$

Schritt 2.3.1.6.3

Potenziere $\sin (B)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos (B)} - \frac{\sin (B)}{\cos (B)} + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} - \frac{\sin^{1} (B) \sin^{1} (B)}{\cos (B)}$

Schritt 2.3.1.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\cos (B)} - \frac{\sin (B)}{\cos (B)} + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} - \frac{{\sin (B)}^{1 + 1}}{\cos (B)}$

Schritt 2.3.1.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\cos (B)} - \frac{\sin (B)}{\cos (B)} + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} - \frac{\sin^{2} (B)}{\cos (B)}$

Schritt 2.3.2

Addiere $- \frac{\sin (B)}{\cos (B)}$ und $\frac{\sin (B)}{\cos (B)}$ .

$\frac{1}{\cos (B)} + 0 - \frac{\sin^{2} (B)}{\cos (B)}$

Schritt 2.3.3

Addiere $\frac{1}{\cos (B)}$ und $0$ .

$\frac{1}{\cos (B)} - \frac{\sin^{2} (B)}{\cos (B)}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - \sin^{2} (B)}{\cos (B)}$

Schritt 2.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\cos^{2} (B)}{\cos (B)}$

Schritt 2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\cos^{2} (B)$ und $\cos (B)$ .

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere $\cos (B)$ aus $\cos^{2} (B)$ heraus.

$\frac{\cos (B) \cos (B)}{\cos (B)}$

Schritt 2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\cos (B) \cos (B)}{\cos (B) \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (B) \cos (B)}{\cos (B) \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (B)}{1}$

Schritt 2.6.2.4

Dividiere $\cos (B)$ durch $1$ .

$\cos (B)$

Schritt 3

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$(\sec (B) + \tan (B)) (1 - \sin (B)) = \cos (B)$ ist eine Identitätsgleichung