Trigonometrie Beispiele

$\cos^{2} (x) + \sin (x) = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos^{2} (x) + \sin (x) - 1 = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\cos^{2} (x) + \sin (x) - 1$ .

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Schritt 2.1

Bewege $- 1$ .

$\cos^{2} (x) - 1 + \sin (x) = 0$

Schritt 2.2

Stelle $\cos^{2} (x)$ und $- 1$ um.

$- 1 + \cos^{2} (x) + \sin (x) = 0$

Schritt 2.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$- 1 (1) + \cos^{2} (x) + \sin (x) = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) + \sin (x) = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ heraus.

$- 1 (1 - \cos^{2} (x)) + \sin (x) = 0$

Schritt 2.6

Schreibe $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ als $- (1 - \cos^{2} (x))$ um.

$- (1 - \cos^{2} (x)) + \sin (x) = 0$

Schritt 2.7

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$- \sin^{2} (x) + \sin (x) = 0$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ersetze $u$ für alle $\sin (x)$ .

$- u^{2} + u = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $u$ aus $- u^{2} + u$ heraus.

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Schritt 3.1.2.1

Faktorisiere $u$ aus $- u^{2}$ heraus.

$u (- u) + u = 0$

Schritt 3.1.2.2

Potenziere $u$ mit $1$ .

$u (- u) + u = 0$

Schritt 3.1.2.3

Faktorisiere $u$ aus $u^{1}$ heraus.

$u (- u) + u \cdot 1 = 0$

Schritt 3.1.2.4

Faktorisiere $u$ aus $u (- u) + u \cdot 1$ heraus.

$u (- u + 1) = 0$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x) + 1) = 0$

Schritt 3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- \sin (x) + 1 = 0$

Schritt 3.3

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 3.3.2

Löse $\sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.3.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 3.3.2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 3.3.2.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.3.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.3.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.3.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.3.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.3.2.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.4

Setze $- \sin (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $- \sin (x) + 1$ gleich $0$ .

$- \sin (x) + 1 = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $- \sin (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sin (x) = - 1$

Schritt 3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (x) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (x) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2.2.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Schritt 3.4.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (1)$

Schritt 3.4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 3.4.2.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{2}$

Schritt 3.4.2.6

Vereinfache $π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 3.4.2.6.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.4.2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.4.2.6.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.4.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 3.4.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.2.6.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Schritt 3.4.2.6.3.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 3.4.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.4.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.4.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.4.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.4.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.4.2.8

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\sin (x) (- \sin (x) + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Führe $2 π n$ und $π + 2 π n$ zu $π n$ zusammen.

$x = π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$