Trigonometrie Beispiele

$\tan^{2} (3 x) = 3$

Schritt 1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\tan (3 x) = \pm \sqrt{3}$

Schritt 2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\tan (3 x) = \sqrt{3}$

Schritt 2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\tan (3 x) = - \sqrt{3}$

Schritt 2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\tan (3 x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 3

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\tan (3 x) = \sqrt{3}$

$\tan (3 x) = - \sqrt{3}$

Schritt 4

Löse in $\tan (3 x) = \sqrt{3}$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$3 x = \arctan (\sqrt{3})$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Der genau Wert von $\arctan (\sqrt{3})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$3 x = \frac{π}{3}$

Schritt 4.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{π}{3}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{π}{3}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Schritt 4.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 4.3.3.2

Multipliziere $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 3}$

Schritt 4.3.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x = \frac{π}{9}$

Schritt 4.4

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$3 x = π + \frac{π}{3}$

Schritt 4.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$3 x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 4.5.1.2

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 4.5.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Schritt 4.5.1.4

Addiere $π \cdot 3$ und $π$ .

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Schritt 4.5.1.4.1

Stelle $π$ und $3$ um.

$3 x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Schritt 4.5.1.4.2

Addiere $3 \cdot π$ und $π$ .

$3 x = \frac{4 \cdot π}{3}$

Schritt 4.5.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{4 \cdot π}{3}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{4 \cdot π}{3}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{3}$

Schritt 4.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{3}$

Schritt 4.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{3}$

Schritt 4.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{4 \cdot π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 4.5.2.3.2

Multipliziere $\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 4.5.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{4 π}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{4 π}{3 \cdot 3}$

Schritt 4.5.2.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x = \frac{4 π}{9}$

Schritt 4.6

Ermittele die Periode von $\tan (3 x)$ .

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Schritt 4.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.6.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 3 |}$

Schritt 4.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{π}{3}$

Schritt 4.7

Die Periode der Funktion $\tan (3 x)$ ist $\frac{π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{9} + \frac{π n}{3}, \frac{4 π}{9} + \frac{π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Löse in $\tan (3 x) = - \sqrt{3}$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$3 x = \arctan (- \sqrt{3})$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Der genau Wert von $\arctan (- \sqrt{3})$ ist $- \frac{π}{3}$ .

$3 x = - \frac{π}{3}$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - \frac{π}{3}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - \frac{π}{3}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{3}}{3}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{3}}{3}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{3}}{3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 5.3.3.2

Multipliziere $- \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 3}$

Schritt 5.3.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x = - \frac{π}{9}$

Schritt 5.4

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$3 x = - \frac{π}{3} - π$

Schritt 5.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 5.5.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{3} - π$ .

$3 x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Schritt 5.5.2

Der resultierende Winkel von $\frac{2 π}{3}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{3} - π$ .

$3 x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 5.5.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{2 π}{3}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{2 π}{3}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{2 π}{3}}{3}$

Schritt 5.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{2 π}{3}}{3}$

Schritt 5.5.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{3}$

Schritt 5.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 5.5.3.3.2

Multipliziere $\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 5.5.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{2 π}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3 \cdot 3}$

Schritt 5.5.3.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x = \frac{2 π}{9}$

Schritt 5.6

Ermittele die Periode von $\tan (3 x)$ .

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Schritt 5.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 5.6.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 3 |}$

Schritt 5.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{π}{3}$

Schritt 5.7

Addiere $\frac{π}{3}$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 5.7.1

Addiere $\frac{π}{3}$ zu $- \frac{π}{9}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{9} + \frac{π}{3}$

Schritt 5.7.2

Um $\frac{π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{9}$

Schritt 5.7.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.7.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{π}{9}$

Schritt 5.7.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{π \cdot 3}{9} - \frac{π}{9}$

Schritt 5.7.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 3 - π}{9}$

Schritt 5.7.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.7.5.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{9}$

Schritt 5.7.5.2

Subtrahiere $π$ von $3 π$ .

$\frac{2 π}{9}$

Schritt 5.7.6

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{2 π}{9}$

Schritt 5.8

Die Periode der Funktion $\tan (3 x)$ ist $\frac{π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}, \frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{9} + \frac{π n}{3}, \frac{4 π}{9} + \frac{π n}{3}, \frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}, \frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 7.1

Führe $\frac{π}{9} + \frac{π n}{3}$ und $\frac{4 π}{9} + \frac{π n}{3}$ zu $\frac{π}{9} + \frac{π n}{3}$ zusammen.

$x = \frac{π}{9} + \frac{π n}{3}, \frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}, \frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7.2

Führe $\frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}$ und $\frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}$ zu $\frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}$ zusammen.

$x = \frac{π}{9} + \frac{π n}{3}, \frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$