Trigonometrie Beispiele

$\cot (θ) + \tan (θ) = \frac{\csc (θ)}{\cos (θ)}$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\cot (θ) + \tan (θ)$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Schreibe $\cot (θ)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \tan (θ)$

Schritt 2.2

Schreibe $\tan (θ)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Schritt 3

Addiere Brüche.

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Schritt 3.1

Um $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Schritt 3.2

Um $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sin (θ)}$

Schritt 3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\sin (θ) \cos (θ)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ mit $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sin (θ)}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ mit $\frac{\sin (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)} + \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 3.3.3

Stelle die Faktoren von $\sin (θ) \cos (θ)$ um.

$\frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} + \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

$\frac{\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

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Schritt 5.1

Ordne Terme um.

$\frac{\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 5.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 6

Schreibe $\frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$ als $\frac{\csc (θ)}{\cos (θ)}$ um.

$\frac{\csc (θ)}{\cos (θ)}$

Schritt 7

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\cot (θ) + \tan (θ) = \frac{\csc (θ)}{\cos (θ)}$ ist eine Identitätsgleichung