Trigonometrie Beispiele

{sin}^{2} (x) + sin (x) = 0

$\sin^{2} (x) + \sin (x) = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Es sei

u = sin (x)

$u = \sin (x)$ . Ersetze

u

$u$ für alle

sin (x)

$\sin (x)$ .

u^{2} + u = 0

$u^{2} + u = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere

u

$u$ aus

u^{2} + u

$u^{2} + u$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere

u

$u$ aus

u^{2}

$u^{2}$ heraus.

u \cdot u + u = 0

$u \cdot u + u = 0$

Schritt 1.2.2

Potenziere

u

$u$ mit

1

$1$ .

u \cdot u + u = 0

$u \cdot u + u = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere

u

$u$ aus

u^{1}

$u^{1}$ heraus.

u \cdot u + u \cdot 1 = 0

$u \cdot u + u \cdot 1 = 0$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere

u

$u$ aus

u \cdot u + u \cdot 1

$u \cdot u + u \cdot 1$ heraus.

u (u + 1) = 0

$u (u + 1) = 0$

u (u + 1) = 0

$u (u + 1) = 0$

Schritt 1.3

Ersetze alle

u

$u$ durch

sin (x)

$\sin (x)$ .

sin (x) (sin (x) + 1) = 0

$\sin (x) (\sin (x) + 1) = 0$

sin (x) (sin (x) + 1) = 0

$\sin (x) (\sin (x) + 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

sin (x) + 1 = 0

$\sin (x) + 1 = 0$

Schritt 3

Setze

sin (x)

$\sin (x)$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze

sin (x)

$\sin (x)$ gleich

0

$0$ .

sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

Schritt 3.2

Löse

sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$ nach

$x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

$x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Der genau Wert von

$\arcsin (0)$ ist

$0$ .

$x = 0$

Schritt 3.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von

$180$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = 180 - 0$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere

$0$ von

$180$ .

$x = 180$

Schritt 3.2.5

Ermittele die Periode von

$\sin (x)$ .

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Schritt 3.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

$\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 3.2.5.2

Ersetze

$b$ durch

$1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 3.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

$0$ und

$1$ ist

$1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 3.2.5.4

Dividiere

$360$ durch

$1$ .

$360$

Schritt 3.2.6

Die Periode der

$\sin (x)$ -Funktion ist

$360$ , sodass sich die Werte alle

$360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$x = 360 n, 180 + 360 n$ , für jede Ganzzahl

$n$

$x = 360 n, 180 + 360 n$ , für jede Ganzzahl

$n$

$x = 360 n, 180 + 360 n$ , für jede Ganzzahl

$n$

Schritt 4

Setze

$\sin (x) + 1$ gleich

$0$ und löse nach

$x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze

$\sin (x) + 1$ gleich

$0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse

$\sin (x) + 1 = 0$ nach

$x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere

$1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) = - 1$

Schritt 4.2.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

$x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- 1)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Der genau Wert von

$\arcsin (- 1)$ ist

$- 90$ .

$x = - 90$

Schritt 4.2.4

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von

$360$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu

$180$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 360 + 90 + 180$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 4.2.5.1

Subtrahiere

$360 °$ von

$360 + 90 + 180 °$ .

$x = 360 + 90 + 180 ° - 360 °$

Schritt 4.2.5.2

Der resultierende Winkel von

$270 °$ ist positiv, kleiner als

$360 °$ und gleich

$360 + 90 + 180$ .

$x = 270 °$

Schritt 4.2.6

Ermittele die Periode von

$\sin (x)$ .

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Schritt 4.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

$\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 4.2.6.2

Ersetze

$b$ durch

$1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 4.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

$0$ und

$1$ ist

$1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 4.2.6.4

Dividiere

$360$ durch

$1$ .

$360$

Schritt 4.2.7

Addiere

$360$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 4.2.7.1

Addiere

$360$ zu

$- 90$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 90 + 360$

Schritt 4.2.7.2

Subtrahiere

$90$ von

$360$ .

$270$

Schritt 4.2.7.3

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 270$

Schritt 4.2.8

Die Periode der

$\sin (x)$ -Funktion ist

$360$ , sodass sich die Werte alle

$360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$x = 270 + 360 n, 270 + 360 n$ , für jede Ganzzahl

$n$

$x = 270 + 360 n, 270 + 360 n$ , für jede Ganzzahl

$n$

$x = 270 + 360 n, 270 + 360 n$ , für jede Ganzzahl

$n$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

$\sin (x) (\sin (x) + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 360 n, 180 + 360 n, 270 + 360 n$ , für jede Ganzzahl

$n$

Schritt 6

Führe

$360 n$ und

$180 + 360 n$ zu

$180 n$ zusammen.

$x = 180 n, 270 + 360 n$ , für jede Ganzzahl

$n$