Trigonometrie Beispiele

$\sin^{2} (θ) - 1 = 0$

Schritt 1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sin^{2} (θ) = 1$

Schritt 2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sin (θ) = \pm \sqrt{1}$

Schritt 3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\sin (θ) = \pm 1$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sin (θ) = 1$

Schritt 4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sin (θ) = - 1$

Schritt 4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sin (θ) = 1, - 1$

Schritt 5

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $θ$ aufzulösen.

$\sin (θ) = 1$

$\sin (θ) = - 1$

Schritt 6

Löse in $\sin (θ) = 1$ nach $θ$ auf.

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Schritt 6.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$θ = \arcsin (1)$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Schritt 6.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$θ = π - \frac{π}{2}$

Schritt 6.4

Vereinfache $π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 6.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$θ = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 6.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 6.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$θ = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 6.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$θ = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Schritt 6.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Schritt 6.5

Ermittele die Periode von $\sin (θ)$ .

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Schritt 6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.6

Die Periode der Funktion $\sin (θ)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Löse in $\sin (θ) = - 1$ nach $θ$ auf.

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Schritt 7.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$θ = \arcsin (- 1)$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$θ = - \frac{π}{2}$

Schritt 7.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$θ = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 7.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 7.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 7.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Schritt 7.5

Ermittele die Periode von $\sin (θ)$ .

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Schritt 7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 7.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 7.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 7.6.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{2}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Schritt 7.6.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 7.6.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.6.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 7.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 7.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.6.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Schritt 7.6.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Schritt 7.6.5

Liste die neuen Winkel auf.

$θ = \frac{3 π}{2}$

Schritt 7.7

Die Periode der Funktion $\sin (θ)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Liste alle Lösungen auf.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$θ = \frac{π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$