Trigonometrie Beispiele

sin (2 x) = \sqrt{2} sin (x)

$\sin (2 x) = \sqrt{2} \sin (x)$

Schritt 1

Subtrahiere

\sqrt{2} sin (x)

$\sqrt{2} \sin (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

sin (2 x) - \sqrt{2} sin (x) = 0

$\sin (2 x) - \sqrt{2} \sin (x) = 0$

Schritt 2

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

2 sin (x) cos (x) - \sqrt{2} sin (x) = 0

$2 \sin (x) \cos (x) - \sqrt{2} \sin (x) = 0$

Schritt 3

Faktorisiere

sin (x)

$\sin (x)$ aus

2 sin (x) cos (x) - \sqrt{2} sin (x)

$2 \sin (x) \cos (x) - \sqrt{2} \sin (x)$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere

sin (x)

$\sin (x)$ aus

2 sin (x) cos (x)

$2 \sin (x) \cos (x)$ heraus.

sin (x) (2 cos (x)) - \sqrt{2} sin (x) = 0

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sqrt{2} \sin (x) = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere

sin (x)

$\sin (x)$ aus

- \sqrt{2} sin (x)

$- \sqrt{2} \sin (x)$ heraus.

sin (x) (2 cos (x)) + sin (x) (- \sqrt{2}) = 0

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) (- \sqrt{2}) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere

sin (x)

$\sin (x)$ aus

sin (x) (2 cos (x)) + sin (x) (- \sqrt{2})

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) (- \sqrt{2})$ heraus.

sin (x) (2 cos (x) - \sqrt{2}) = 0

$\sin (x) (2 \cos (x) - \sqrt{2}) = 0$

sin (x) (2 cos (x) - \sqrt{2}) = 0

$\sin (x) (2 \cos (x) - \sqrt{2}) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

2 cos (x) - \sqrt{2} = 0

$2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$

Schritt 5

Setze

sin (x)

$\sin (x)$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze

sin (x)

$\sin (x)$ gleich

0

$0$ .

sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

Schritt 5.2

Löse

sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$ nach

x

$x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

x

$x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

x = arcsin (0)

$x = \arcsin (0)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Der genau Wert von

arcsin (0)

$\arcsin (0)$ ist

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

Schritt 5.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von

π

$π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

x = π - 0

$x = π - 0$

Schritt 5.2.4

Subtrahiere

0

$0$ von

π

$π$ .

x = π

$x = π$

Schritt 5.2.5

Ermittele die Periode von

sin (x)

$\sin (x)$ .

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Schritt 5.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.5.2

Ersetze

b

$b$ durch

1

$1$ in der Formel für die Periode.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

0

$0$ und

1

$1$ ist

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.5.4

Dividiere

2 π

$2 π$ durch

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Schritt 5.2.6

Die Periode der Funktion

sin (x)

$\sin (x)$ ist

2 π

$2 π$ , d. h., Werte werden sich alle

2 π

$2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

Schritt 6

Setze

2 cos (x) - \sqrt{2}

$2 \cos (x) - \sqrt{2}$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze

2 cos (x) - \sqrt{2}

$2 \cos (x) - \sqrt{2}$ gleich

0

$0$ .

2 cos (x) - \sqrt{2} = 0

$2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$

Schritt 6.2

Löse

2 cos (x) - \sqrt{2} = 0

$2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$ nach

x

$x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

2 cos (x) = \sqrt{2}

$2 \cos (x) = \sqrt{2}$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in

2 cos (x) = \sqrt{2}

$2 \cos (x) = \sqrt{2}$ durch

2

$2$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in

2 cos (x) = \sqrt{2}

$2 \cos (x) = \sqrt{2}$ durch

2

$2$ .

\frac{2 cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere

$\cos (x)$ durch

$1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

$x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 6.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.4.1

Der genau Wert von

$\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ ist

$\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 6.2.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von

$2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Schritt 6.2.6

Vereinfache

$2 π - \frac{π}{4}$ .

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Schritt 6.2.6.1

$2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 6.2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.6.2.1

Kombiniere

$2 π$ und

$\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 6.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 6.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.6.3.1

Mutltipliziere

$4$ mit

$2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Schritt 6.2.6.3.2

Subtrahiere

$π$ von

$8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Schritt 6.2.7

Ermittele die Periode von

$\cos (x)$ .

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Schritt 6.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2.7.2

Ersetze

$b$ durch

$1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

$0$ und

$1$ ist

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.2.7.4

Dividiere

$2 π$ durch

$1$ .

$2 π$

Schritt 6.2.8

Die Periode der Funktion

$\cos (x)$ ist

$2 π$ , d. h., Werte werden sich alle

$2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

$n$

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

$n$

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

$n$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

$\sin (x) (2 \cos (x) - \sqrt{2}) = 0$ wahr machen.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

$n$

Schritt 8

Führe

$2 π n$ und

$π + 2 π n$ zu

$π n$ zusammen.

$x = π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

$n$