Trigonometrie Beispiele

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ , $\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Schritt 1

Um den Wert von $\tan (θ)$ zu bestimmen, wende die Tatsache, dass $\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ , an und setze dann die bekannten Werte ein.

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{5}}{5}}$

Schritt 2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{5}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{5}$ .

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $\sqrt{5}$ aus $2 \sqrt{5}$ heraus.

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{\sqrt{5} \cdot 2}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{5}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{\sqrt{5} \cdot 2}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{5}}$

Schritt 2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{2}{5} \cdot 5$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{2}{5} \cdot 5$

Schritt 2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = 2$

Schritt 3

Um den Wert von $\cot (θ)$ zu bestimmen, wende die Tatsache, dass $\frac{1}{\tan (θ)}$ , an und setze dann die bekannten Werte ein.

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{1}{2}$

Schritt 4

Um den Wert von $\sec (θ)$ zu bestimmen, wende die Tatsache, dass $\frac{1}{\cos (θ)}$ , an und setze dann die bekannten Werte ein.

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{5}}$

Schritt 5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = 1 (\frac{5}{\sqrt{5}})$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{5}}$ mit $1$ .

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{5}{\sqrt{5}}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{5}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 5.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 5.4.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 5.4.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 5.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 5.4.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 5.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 5.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 5.5.2

Dividiere $\sqrt{5}$ durch $1$ .

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \sqrt{5}$

Schritt 6

Um den Wert von $\csc (θ)$ zu bestimmen, wende die Tatsache, dass $\frac{1}{\sin (θ)}$ , an und setze dann die bekannten Werte ein.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{1}{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}$

Schritt 7

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = 1 (\frac{5}{2 \sqrt{5}})$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $\frac{5}{2 \sqrt{5}}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{5}{2 \sqrt{5}}$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $\frac{5}{2 \sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{5}{2 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 7.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $\frac{5}{2 \sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 \sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 7.4.2

Bewege $\sqrt{5}$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Schritt 7.4.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Schritt 7.4.4

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Schritt 7.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 {\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 7.4.7

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 7.4.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.4.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.4.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.4.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.4.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.4.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.4.7.5

Berechne den Exponenten.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 7.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Schritt 8

Die ermittelten trigonometrischen Funktionen sind wie folgt:

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\tan (θ) = 2$

$\cot (θ) = \frac{1}{2}$

$\sec (θ) = \sqrt{5}$

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{5}}{2}$