Trigonometrie Beispiele

$\sec^{6} (x) (\sec (x) \tan (x)) - \sec^{4} (x) (\sec (x) \tan (x)) = \sec^{5} (x) \tan^{3} (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\sec^{6} (x) (\sec (x) \tan (x)) - \sec^{4} (x) (\sec (x) \tan (x))$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

$\sec^{7} (x) \tan (x) - \sec^{5} (x) \tan (x)$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $\sec^{5} (x) \tan (x)$ aus $\sec^{7} (x) \tan (x) - \sec^{5} (x) \tan (x)$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $\sec^{5} (x) \tan (x)$ aus $\sec^{7} (x) \tan (x)$ heraus.

$\sec^{5} (x) \tan (x) (\sec^{2} (x)) - \sec^{5} (x) \tan (x)$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $\sec^{5} (x) \tan (x)$ aus $- \sec^{5} (x) \tan (x)$ heraus.

$\sec^{5} (x) \tan (x) (\sec^{2} (x)) + \sec^{5} (x) \tan (x) (- 1)$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $\sec^{5} (x) \tan (x)$ aus $\sec^{5} (x) \tan (x) (\sec^{2} (x)) + \sec^{5} (x) \tan (x) (- 1)$ heraus.

$\sec^{5} (x) \tan (x) (\sec^{2} (x) - 1)$

Schritt 3.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\sec^{5} (x) \tan (x) \tan^{2} (x)$

Schritt 3.3

Multipliziere $\tan (x)$ mit $\tan^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1

Bewege $\tan^{2} (x)$ .

$\sec^{5} (x) (\tan^{2} (x) \tan (x))$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $\tan^{2} (x)$ mit $\tan (x)$ .

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Schritt 3.3.2.1

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\sec^{5} (x) (\tan^{2} (x) \tan^{1} (x))$

Schritt 3.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec^{5} (x) {\tan (x)}^{2 + 1}$

Schritt 3.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\sec^{5} (x) \tan^{3} (x)$

Schritt 3.4

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{5} \tan^{3} (x)$

Schritt 3.5

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{1^{5}}{\cos^{5} (x)} \tan^{3} (x)$

Schritt 3.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{\cos^{5} (x)} \tan^{3} (x)$

Schritt 3.7

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\cos^{5} (x)} {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{3}$

Schritt 3.8

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$\frac{1}{\cos^{5} (x)} \cdot \frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)}$

Schritt 3.9

Kombinieren.

$\frac{1 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x) \cos^{3} (x)}$

Schritt 3.10

Multipliziere $\cos^{5} (x)$ mit $\cos^{3} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.10.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 \sin^{3} (x)}{{\cos (x)}^{5 + 3}}$

Schritt 3.10.2

Addiere $5$ und $3$ .

$\frac{1 \sin^{3} (x)}{\cos^{8} (x)}$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $\sin^{3} (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{8} (x)}$

Schritt 4

Schreibe $\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{8} (x)}$ als $\sec^{5} (x) \tan^{3} (x)$ um.

$\sec^{5} (x) \tan^{3} (x)$

Schritt 5

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\sec^{6} (x) (\sec (x) \tan (x)) - \sec^{4} (x) (\sec (x) \tan (x)) = \sec^{5} (x) \tan^{3} (x)$ ist eine Identitätsgleichung