Trigonometrie Beispiele

2 \sin (x) \cos (x) = \sqrt{2} \cos (x)

$2 \sin (x) \cos (x) = \sqrt{2} \cos (x)$

Schritt 1

Subtrahiere

\sqrt{2} \cos (x)

$\sqrt{2} \cos (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

2 \sin (x) \cos (x) - \sqrt{2} \cos (x) = 0

$2 \sin (x) \cos (x) - \sqrt{2} \cos (x) = 0$

Schritt 2

Faktorisiere

\cos (x)

$\cos (x)$ aus

2 \sin (x) \cos (x) - \sqrt{2} \cos (x)

$2 \sin (x) \cos (x) - \sqrt{2} \cos (x)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Faktorisiere

\cos (x)

$\cos (x)$ aus

2 \sin (x) \cos (x)

$2 \sin (x) \cos (x)$ heraus.

\cos (x) (2 \sin (x)) - \sqrt{2} \cos (x) = 0

$\cos (x) (2 \sin (x)) - \sqrt{2} \cos (x) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere

\cos (x)

$\cos (x)$ aus

- \sqrt{2} \cos (x)

$- \sqrt{2} \cos (x)$ heraus.

\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- \sqrt{2}) = 0

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- \sqrt{2}) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere

\cos (x)

$\cos (x)$ aus

\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- \sqrt{2})

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- \sqrt{2})$ heraus.

\cos (x) (2 \sin (x) - \sqrt{2}) = 0

$\cos (x) (2 \sin (x) - \sqrt{2}) = 0$

\cos (x) (2 \sin (x) - \sqrt{2}) = 0

$\cos (x) (2 \sin (x) - \sqrt{2}) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

\cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$

2 \sin (x) - \sqrt{2} = 0

$2 \sin (x) - \sqrt{2} = 0$

Schritt 4

Setze

\cos (x)

$\cos (x)$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze

\cos (x)

$\cos (x)$ gleich

0

$0$ .

\cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$

Schritt 4.2

Löse

\cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$ nach

x

$x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

x

$x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

x = \arccos (0)

$x = \arccos (0)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Der genau Wert von

\arccos (0)

$\arccos (0)$ ist

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von

2 π

$2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

x = 2 π - \frac{π}{2}

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache

2 π - \frac{π}{2}

$2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 4.2.4.1

2 π

$2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.4.2.1

Kombiniere

2 π

$2 π$ und

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 4.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.4.3.1

Mutltipliziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

x = \frac{4 π - π}{2}

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 4.2.4.3.2

Subtrahiere

π

$π$ von

4 π

$4 π$ .

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 4.2.5

Ermittele die Periode von

\cos (x)

$\cos (x)$ .

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Schritt 4.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.5.2

Ersetze

b

$b$ durch

1

$1$ in der Formel für die Periode.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

0

$0$ und

1

$1$ ist

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.2.5.4

Dividiere

2 π

$2 π$ durch

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Schritt 4.2.6

Die Periode der Funktion

\cos (x)

$\cos (x)$ ist

2 π

$2 π$ , d. h., Werte werden sich alle

2 π

$2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

Schritt 5

Setze

2 \sin (x) - \sqrt{2}

$2 \sin (x) - \sqrt{2}$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze

2 \sin (x) - \sqrt{2}

$2 \sin (x) - \sqrt{2}$ gleich

0

$0$ .

2 \sin (x) - \sqrt{2} = 0

$2 \sin (x) - \sqrt{2} = 0$

Schritt 5.2

Löse

2 \sin (x) - \sqrt{2} = 0

$2 \sin (x) - \sqrt{2} = 0$ nach

x

$x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

2 \sin (x) = \sqrt{2}

$2 \sin (x) = \sqrt{2}$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in

2 \sin (x) = \sqrt{2}

$2 \sin (x) = \sqrt{2}$ durch

2

$2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in

2 \sin (x) = \sqrt{2}

$2 \sin (x) = \sqrt{2}$ durch

2

$2$ .

\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere

\sin (x)

$\sin (x)$ durch

1

$1$ .

\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

x

$x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 5.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.4.1

Der genau Wert von

\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})

$\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ ist

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ .

x = \frac{π}{4}

$x = \frac{π}{4}$

x = \frac{π}{4}

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von

π

$π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

x = π - \frac{π}{4}

$x = π - \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.6

Vereinfache

π - \frac{π}{4}

$π - \frac{π}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.6.1

π

$π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.6.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.6.2.1

Kombiniere

π

$π$ und

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 5.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.6.3.1

Bringe

4

$4$ auf die linke Seite von

π

$π$ .

x = \frac{4 \cdot π - π}{4}

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 5.2.6.3.2

Subtrahiere

π

$π$ von

4 π

$4 π$ .

x = \frac{3 π}{4}

$x = \frac{3 π}{4}$

x = \frac{3 π}{4}

$x = \frac{3 π}{4}$

x = \frac{3 π}{4}

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 5.2.7

Ermittele die Periode von

\sin (x)

$\sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.7.2

Ersetze

b

$b$ durch

1

$1$ in der Formel für die Periode.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

0

$0$ und

1

$1$ ist

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.7.4

Dividiere

2 π

$2 π$ durch

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Schritt 5.2.8

Die Periode der Funktion

\sin (x)

$\sin (x)$ ist

2 π

$2 π$ , d. h., Werte werden sich alle

2 π

$2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

\cos (x) (2 \sin (x) - \sqrt{2}) = 0

$\cos (x) (2 \sin (x) - \sqrt{2}) = 0$ wahr machen.

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

Schritt 7

Führe

\frac{π}{2} + 2 π n

$\frac{π}{2} + 2 π n$ und

\frac{3 π}{2} + 2 π n

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$ zu

\frac{π}{2} + π n

$\frac{π}{2} + π n$ zusammen.

x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$