Trigonometrie Beispiele

$8 \sin (x) \tan (x) - 7 \tan (x) = 0$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$8 \sin (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - 7 \tan (x) = 0$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $8 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Schritt 1.1.2.1

Kombiniere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ und $8$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 8}{\cos (x)} \cdot \sin (x) - 7 \tan (x) = 0$

Schritt 1.1.2.2

Kombiniere $\frac{\sin (x) \cdot 8}{\cos (x)}$ und $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cdot (8 \sin (x))}{\cos (x)} - 7 \tan (x) = 0$

Schritt 1.1.2.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{8 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} - 7 \tan (x) = 0$

Schritt 1.1.2.4

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{8 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} - 7 \tan (x) = 0$

Schritt 1.1.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{8 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} - 7 \tan (x) = 0$

Schritt 1.1.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{8 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} - 7 \tan (x) = 0$

Schritt 1.1.3

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{8 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} - 7 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 1.1.4

Kombiniere $- 7$ und $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{8 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{- 7 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 1.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{8 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \frac{7 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{8 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} - \frac{7 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 1.2.2

Separiere Brüche.

$\frac{8 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{7 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 1.2.3

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{8 (\sin (x))}{1} \cdot \tan (x) - \frac{7 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 1.2.4

Dividiere $8 (\sin (x))$ durch $1$ .

$8 (\sin (x)) \tan (x) - \frac{7 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 1.2.5

Separiere Brüche.

$8 \sin (x) \tan (x) - (\frac{7}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = 0$

Schritt 1.2.6

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$8 \sin (x) \tan (x) - (\frac{7}{1} \cdot \tan (x)) = 0$

Schritt 1.2.7

Dividiere $7$ durch $1$ .

$8 \sin (x) \tan (x) - (7 \tan (x)) = 0$

Schritt 1.2.8

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$8 \sin (x) \tan (x) - 7 \tan (x) = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $8 \sin (x) \tan (x) - 7 \tan (x)$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $8 \sin (x) \tan (x)$ heraus.

$\tan (x) (8 \sin (x)) - 7 \tan (x) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $- 7 \tan (x)$ heraus.

$\tan (x) (8 \sin (x)) + \tan (x) \cdot - 7 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $\tan (x) (8 \sin (x)) + \tan (x) \cdot - 7$ heraus.

$\tan (x) (8 \sin (x) - 7) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\tan (x) = 0$

$8 \sin (x) - 7 = 0$

Schritt 4

Setze $\tan (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\tan (x)$ gleich $0$ .

$\tan (x) = 0$

Schritt 4.2

Löse $\tan (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (0)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.2.3

Die Tangensfunktion ist positiv im ersten und dritten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 180 + 0$

Schritt 4.2.4

Addiere $180$ und $0$ .

$x = 180$

Schritt 4.2.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 4.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{180}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{180}{| b |}$

Schritt 4.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{180}{| 1 |}$

Schritt 4.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{180}{1}$

Schritt 4.2.5.4

Dividiere $180$ durch $1$ .

$180$

Schritt 4.2.6

Die Periode der $\tan (x)$ -Funktion ist $180$ , sodass sich die Werte alle $180$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$x = 180 n, 180 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Setze $8 \sin (x) - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $8 \sin (x) - 7$ gleich $0$ .

$8 \sin (x) - 7 = 0$

Schritt 5.2

Löse $8 \sin (x) - 7 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 \sin (x) = 7$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $8 \sin (x) = 7$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 \sin (x) = 7$ durch $8$ .

$\frac{8 \sin (x)}{8} = \frac{7}{8}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 \sin (x)}{8} = \frac{7}{8}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{7}{8}$

Schritt 5.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{7}{8})$

Schritt 5.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.4.1

Berechne $\arcsin (\frac{7}{8})$ .

$x = 61.04497562$

Schritt 5.2.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = 180 - 61.04497562$

Schritt 5.2.6

Subtrahiere $61.04497562$ von $180$ .

$x = 118.95502437$

Schritt 5.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 5.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 5.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 5.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 5.2.7.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 5.2.8

Die Periode der $\sin (x)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$x = 61.04497562 + 360 n, 118.95502437 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\tan (x) (8 \sin (x) - 7) = 0$ wahr machen.

$x = 180 n, 180 + 180 n, 61.04497562 + 360 n, 118.95502437 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Führe $180 n$ und $180 + 180 n$ zu $180 n$ zusammen.

$x = 180 n, 61.04497562 + 360 n, 118.95502437 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$