Trigonometrie Beispiele

sin (θ) = \frac{- \sqrt{3}}{2}

$\sin (θ) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

θ

$θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

θ = arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})

$θ = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Der genau Wert von

arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})

$\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ ist

- \frac{π}{3}

$- \frac{π}{3}$ .

θ = - \frac{π}{3}

$θ = - \frac{π}{3}$

Schritt 4

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von

$2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu

$π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$θ = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 5.1

Subtrahiere

$2 π$ von

$2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Schritt 5.2

Der resultierende Winkel von

$\frac{4 π}{3}$ ist positiv, kleiner als

$2 π$ und gleich

$2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Schritt 6

Ermittele die Periode von

$\sin (θ)$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze

$b$ durch

$1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

$0$ und

$1$ ist

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.4

Dividiere

$2 π$ durch

$1$ .

$2 π$

Schritt 7

Addiere

$2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 7.1

Addiere

$2 π$ zu

$- \frac{π}{3}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Schritt 7.2

$2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 7.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.3.1

Kombiniere

$2 π$ und

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 7.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere

$3$ mit

$2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Schritt 7.4.2

Subtrahiere

$π$ von

$6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Schritt 7.5

Liste die neuen Winkel auf.

$θ = \frac{5 π}{3}$

Schritt 8

Die Periode der Funktion

$\sin (θ)$ ist

$2 π$ , d. h., Werte werden sich alle

$2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

$n$