Trigonometrie Beispiele

$1 + \frac{\tan (θ)}{\cot (θ)} = \sec^{2} (θ)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$1 + \frac{\tan (θ)}{\cot (θ)}$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Schreibe $\cot (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$1 + \frac{\tan (θ)}{\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}}$

Schritt 2.2

Schreibe $\tan (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$1 + \frac{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}}$

Schritt 2.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ zu dividieren.

$1 + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ mit $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$1 + \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$1 + \frac{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)}$

Schritt 2.5.2

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$1 + \frac{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)}$

Schritt 2.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + \frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ) \cos (θ)}$

Schritt 2.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.6.1

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}$

Schritt 2.6.2

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}$

Schritt 2.6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{{\cos (θ)}^{1 + 1}}$

Schritt 2.6.4

Addiere $1$ und $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Schritt 3

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$1 + \frac{1 - \cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$1 + \frac{1^{2} - {\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \cos (θ)$ .

$1 + \frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

Schritt 4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{\cos (θ)}^{2} + (1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Zähler.

$\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$

Schritt 5

Schreibe $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ als $\sec^{2} (θ)$ um.

$\sec^{2} (θ)$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$1 + \frac{\tan (θ)}{\cot (θ)} = \sec^{2} (θ)$ ist eine Identitätsgleichung