Trigonometrie Beispiele

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Schritt 1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Schritt 2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Schritt 2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{3}{4}}$ als $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ um.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 4

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 5

Löse in $\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 5.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Schritt 5.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{6}$ .

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Schritt 5.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 5.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 5.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Schritt 5.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Schritt 5.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Löse in $\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 6.3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Schritt 6.4

Vereinfache $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

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Schritt 6.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Schritt 6.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Schritt 6.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Schritt 6.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Schritt 6.4.3.2

Subtrahiere $5 π$ von $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Schritt 6.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 8.1

Führe $\frac{π}{6} + 2 π n$ und $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ zu $\frac{π}{6} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8.2

Führe $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ und $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ zu $\frac{5 π}{6} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$