Trigonometrie Beispiele

$\cos (\frac{π}{3})$

Schritt 1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 2

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 3

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 4

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = \frac{1}{2}$ und $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 5

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 5.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 5.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 5.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1}{2^{2}}}$

Schritt 5.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1}{4}}$

Schritt 5.5

Addiere $0$ und $\frac{1}{4}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4}}$

Schritt 5.6

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ um.

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Schritt 5.7

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{4}}$

Schritt 5.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.8.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 5.8.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = \frac{1}{2}$

Schritt 6

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1}{2}})$

Schritt 7

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{0}{\frac{1}{2}}$ einen Winkel im ersten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $0$ .

$θ = 0$

Schritt 8

Substituiere die Werte von $θ = 0$ und $| z | = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 (\cos (0) + i \sin (0))}$