Trigonometrie Beispiele

$2 \sin (θ) = \sqrt{3}$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (θ) = \sqrt{3}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (θ) = \sqrt{3}$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $\sin (θ)$ durch $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Schritt 4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$θ = π - \frac{π}{3}$

Schritt 5

Vereinfache $π - \frac{π}{3}$ .

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Schritt 5.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$θ = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$θ = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$θ = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $π$ von $3 π$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Schritt 6

Ermittele die Periode von $\sin (θ)$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 7

Die Periode der Funktion $\sin (θ)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$