Trigonometrie Beispiele

y = - \frac{1}{2} \cos (\frac{x}{4} + \frac{2 π}{3}) - 4

$y = - \frac{1}{2} \cos (\frac{x}{4} + \frac{2 π}{3}) - 4$

Schritt 1

Wende die Form

a \cos (b x - c) + d

$a \cos (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

a = - \frac{1}{2}

$a = - \frac{1}{2}$

b = \frac{1}{4}

$b = \frac{1}{4}$

c = - \frac{2 π}{3}

$c = - \frac{2 π}{3}$

d = - 4

$d = - 4$

Schritt 2

Bestimme die Amplitude

| a |

$| a |$ .

Amplitude:

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

Schritt 3

Ermittle die Periode mithilfe der Formel

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

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Schritt 3.1

Ermittele die Periode von

- \frac{\cos (\frac{x}{4} + \frac{2 π}{3})}{2}

$- \frac{\cos (\frac{x}{4} + \frac{2 π}{3})}{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.1.2

Ersetze

b

$b$ durch

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ in der Formel für die Periode.

\frac{2 π}{| \frac{1}{4} |}

$\frac{2 π}{| \frac{1}{4} |}$

Schritt 3.1.3

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ ist ungefähr

0.25

$0.25$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

\frac{2 π}{\frac{1}{4}}

$\frac{2 π}{\frac{1}{4}}$

Schritt 3.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

2 π \cdot 4

$2 π \cdot 4$

Schritt 3.1.5

Mutltipliziere

4

$4$ mit

2

$2$ .

8 π

$8 π$

8 π

$8 π$

Schritt 3.2

Ermittele die Periode von

- 4

$- 4$ .

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Schritt 3.2.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.2

Ersetze

b

$b$ durch

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ in der Formel für die Periode.

\frac{2 π}{| \frac{1}{4} |}

$\frac{2 π}{| \frac{1}{4} |}$

Schritt 3.2.3

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ ist ungefähr

0.25

$0.25$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

\frac{2 π}{\frac{1}{4}}

$\frac{2 π}{\frac{1}{4}}$

Schritt 3.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

2 π \cdot 4

$2 π \cdot 4$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere

4

$4$ mit

2

$2$ .

8 π

$8 π$

8 π

$8 π$

Schritt 3.3

Die Periode der Summe/Differenz trigonometrischer Funktionen ist das Maximum der individuellen Perioden.

8 π

$8 π$

8 π

$8 π$

Schritt 4

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$ .

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Schritt 4.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung:

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$

Schritt 4.2

Ersetze die Werte von

c

$c$ und

b

$b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung:

\frac{- \frac{2 π}{3}}{\frac{1}{4}}

$\frac{- \frac{2 π}{3}}{\frac{1}{4}}$

Schritt 4.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Phasenverschiebung:

- \frac{2 π}{3} \cdot 4

$- \frac{2 π}{3} \cdot 4$

Schritt 4.4

Multipliziere

- \frac{2 π}{3} \cdot 4

$- \frac{2 π}{3} \cdot 4$ .

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere

4

$4$ mit

- 1

$- 1$ .

Phasenverschiebung:

- 4 \frac{2 π}{3}

$- 4 \frac{2 π}{3}$

Schritt 4.4.2

Kombiniere

- 4

$- 4$ und

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$ .

Phasenverschiebung:

\frac{- 4 (2 π)}{3}

$\frac{- 4 (2 π)}{3}$

Schritt 4.4.3

Mutltipliziere

2

$2$ mit

- 4

$- 4$ .

Phasenverschiebung:

\frac{- 8 π}{3}

$\frac{- 8 π}{3}$

Phasenverschiebung:

\frac{- 8 π}{3}

$\frac{- 8 π}{3}$

Schritt 4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

Phasenverschiebung:

- \frac{8 π}{3}

$- \frac{8 π}{3}$

Phasenverschiebung:

- \frac{8 π}{3}

$- \frac{8 π}{3}$

Schritt 5

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude:

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

Periode:

8 π

$8 π$

Phasenverschiebung:

- \frac{8 π}{3}

$- \frac{8 π}{3}$ (

\frac{8 π}{3}

$\frac{8 π}{3}$ nach links)

Vertikale Verschiebung:

- 4

$- 4$

Schritt 6