Trigonometrie Beispiele

$8 \tan^{2} (θ) + 10 \tan (θ) + 10 = 7$

Schritt 1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 \tan^{2} (θ) + 10 \tan (θ) + 10 - 7 = 0$

Schritt 2

Subtrahiere $7$ von $10$ .

$8 \tan^{2} (θ) + 10 \tan (θ) + 3 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ und deren Summe gleich $b = 10$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $10$ aus $10 \tan (θ)$ heraus.

$8 \tan^{2} (θ) + 10 \tan (θ) + 3 = 0$

Schritt 3.1.2

Schreibe $10$ um als $4$ plus $6$

$8 \tan^{2} (θ) + (4 + 6) \tan (θ) + 3 = 0$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 \tan^{2} (θ) + 4 \tan (θ) + 6 \tan (θ) + 3 = 0$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$8 \tan^{2} (θ) + 4 \tan (θ) + 6 \tan (θ) + 3 = 0$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$4 \tan (θ) (2 \tan (θ) + 1) + 3 (2 \tan (θ) + 1) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 \tan (θ) + 1$ .

$(2 \tan (θ) + 1) (4 \tan (θ) + 3) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 \tan (θ) + 1 = 0$

$4 \tan (θ) + 3 = 0$

Schritt 5

Setze $2 \tan (θ) + 1$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $2 \tan (θ) + 1$ gleich $0$ .

$2 \tan (θ) + 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $2 \tan (θ) + 1 = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \tan (θ) = - 1$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \tan (θ) = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \tan (θ) = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \tan (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \tan (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $\tan (θ)$ durch $1$ .

$\tan (θ) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\tan (θ) = - \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$θ = \arctan (- \frac{1}{2})$

Schritt 5.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.4.1

Berechne $\arctan (- \frac{1}{2})$ .

$θ = - 26.56505117$

Schritt 5.2.5

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$θ = - 26.56505117 - 180$

Schritt 5.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 5.2.6.1

Addiere $360 °$ zu $- 26.56505117 - 180 °$ .

$θ = - 26.56505117 - 180 ° + 360 °$

Schritt 5.2.6.2

Der resultierende Winkel von $153.43494882 °$ ist positiv und gleich $- 26.56505117 - 180$ .

$θ = 153.43494882 °$

Schritt 5.2.7

Ermittele die Periode von $\tan (θ)$ .

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Schritt 5.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{180}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{180}{| b |}$

Schritt 5.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{180}{| 1 |}$

Schritt 5.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{180}{1}$

Schritt 5.2.7.4

Dividiere $180$ durch $1$ .

$180$

Schritt 5.2.8

Addiere $180$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 5.2.8.1

Addiere $180$ zu $- 26.56505117$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 26.56505117 + 180$

Schritt 5.2.8.2

Subtrahiere $26.56505117$ von $180$ .

$153.43494882$

Schritt 5.2.8.3

Liste die neuen Winkel auf.

$θ = 153.43494882$

Schritt 5.2.9

Die Periode der $\tan (θ)$ -Funktion ist $180$ , sodass sich die Werte alle $180$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 153.43494882 + 180 n, 153.43494882 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Setze $4 \tan (θ) + 3$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $4 \tan (θ) + 3$ gleich $0$ .

$4 \tan (θ) + 3 = 0$

Schritt 6.2

Löse $4 \tan (θ) + 3 = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 \tan (θ) = - 3$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 \tan (θ) = - 3$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \tan (θ) = - 3$ durch $4$ .

$\frac{4 \tan (θ)}{4} = \frac{- 3}{4}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \tan (θ)}{4} = \frac{- 3}{4}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $\tan (θ)$ durch $1$ .

$\tan (θ) = \frac{- 3}{4}$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\tan (θ) = - \frac{3}{4}$

Schritt 6.2.3

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$θ = \arctan (- \frac{3}{4})$

Schritt 6.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.4.1

Berechne $\arctan (- \frac{3}{4})$ .

$θ = - 36.86989764$

Schritt 6.2.5

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$θ = - 36.86989764 - 180$

Schritt 6.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 6.2.6.1

Addiere $360 °$ zu $- 36.86989764 - 180 °$ .

$θ = - 36.86989764 - 180 ° + 360 °$

Schritt 6.2.6.2

Der resultierende Winkel von $143.13010235 °$ ist positiv und gleich $- 36.86989764 - 180$ .

$θ = 143.13010235 °$

Schritt 6.2.7

Ermittele die Periode von $\tan (θ)$ .

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Schritt 6.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{180}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{180}{| b |}$

Schritt 6.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{180}{| 1 |}$

Schritt 6.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{180}{1}$

Schritt 6.2.7.4

Dividiere $180$ durch $1$ .

$180$

Schritt 6.2.8

Addiere $180$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 6.2.8.1

Addiere $180$ zu $- 36.86989764$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 36.86989764 + 180$

Schritt 6.2.8.2

Subtrahiere $36.86989764$ von $180$ .

$143.13010235$

Schritt 6.2.8.3

Liste die neuen Winkel auf.

$θ = 143.13010235$

Schritt 6.2.9

Die Periode der $\tan (θ)$ -Funktion ist $180$ , sodass sich die Werte alle $180$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 143.13010235 + 180 n, 143.13010235 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 \tan (θ) + 1) (4 \tan (θ) + 3) = 0$ wahr machen.

$θ = 153.43494882 + 180 n, 143.13010235 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$