Trigonometrie Beispiele

6 {sin}^{2} (θ) - 17 sin (θ) + 14 = - 4 sin (θ) + 9

$6 \sin^{2} (θ) - 17 \sin (θ) + 14 = - 4 \sin (θ) + 9$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere

4 sin (θ)

$4 \sin (θ)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

6 {sin}^{2} (θ) - 17 sin (θ) + 14 + 4 sin (θ) = 9

$6 \sin^{2} (θ) - 17 \sin (θ) + 14 + 4 \sin (θ) = 9$

Schritt 1.2

Subtrahiere

9

$9$ von beiden Seiten der Gleichung.

6 {sin}^{2} (θ) - 17 sin (θ) + 14 + 4 sin (θ) - 9 = 0

$6 \sin^{2} (θ) - 17 \sin (θ) + 14 + 4 \sin (θ) - 9 = 0$

6 {sin}^{2} (θ) - 17 sin (θ) + 14 + 4 sin (θ) - 9 = 0

$6 \sin^{2} (θ) - 17 \sin (θ) + 14 + 4 \sin (θ) - 9 = 0$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Addiere

- 17 sin (θ)

$- 17 \sin (θ)$ und

4 sin (θ)

$4 \sin (θ)$ .

6 {sin}^{2} (θ) + 14 - 13 sin (θ) - 9 = 0

$6 \sin^{2} (θ) + 14 - 13 \sin (θ) - 9 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere

9

$9$ von

14

$14$ .

6 {sin}^{2} (θ) + 5 - 13 sin (θ) = 0

$6 \sin^{2} (θ) + 5 - 13 \sin (θ) = 0$

6 {sin}^{2} (θ) + 5 - 13 sin (θ) = 0

$6 \sin^{2} (θ) + 5 - 13 \sin (θ) = 0$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Stelle die Terme um.

6 {sin}^{2} (θ) - 13 sin (θ) + 5 = 0

$6 \sin^{2} (θ) - 13 \sin (θ) + 5 = 0$

Schritt 3.2

Für ein Polynom der Form

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich

a \cdot c = 6 \cdot 5 = 30

$a \cdot c = 6 \cdot 5 = 30$ und deren Summe gleich

$b = - 13$ ist.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere

$- 13$ aus

$- 13 \sin (θ)$ heraus.

$6 \sin^{2} (θ) - 13 \sin (θ) + 5 = 0$

Schritt 3.2.2

Schreibe

$- 13$ um als

$- 3$ plus

$- 10$

$6 \sin^{2} (θ) + (- 3 - 10) \sin (θ) + 5 = 0$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 \sin^{2} (θ) - 3 \sin (θ) - 10 \sin (θ) + 5 = 0$

Schritt 3.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$6 \sin^{2} (θ) - 3 \sin (θ) - 10 \sin (θ) + 5 = 0$

Schritt 3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 \sin (θ) (2 \sin (θ) - 1) - 5 (2 \sin (θ) - 1) = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers,

$2 \sin (θ) - 1$ .

$(2 \sin (θ) - 1) (3 \sin (θ) - 5) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

$0$ .

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

$3 \sin (θ) - 5 = 0$

Schritt 5

Setze

$2 \sin (θ) - 1$ gleich

$0$ und löse nach

$θ$ auf.

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Schritt 5.1

Setze

$2 \sin (θ) - 1$ gleich

$0$ .

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse

$2 \sin (θ) - 1 = 0$ nach

$θ$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere

$1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin (θ) = 1$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in

$2 \sin (θ) = 1$ durch

$2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in

$2 \sin (θ) = 1$ durch

$2$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere

$\sin (θ)$ durch

$1$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

$θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 5.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.4.1

Der genau Wert von

$\arcsin (\frac{1}{2})$ ist

$30$ .

$θ = 30$

Schritt 5.2.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von

$180$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$θ = 180 - 30$

Schritt 5.2.6

Subtrahiere

$30$ von

$180$ .

$θ = 150$

Schritt 5.2.7

Ermittele die Periode von

$\sin (θ)$ .

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Schritt 5.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

$\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 5.2.7.2

Ersetze

$b$ durch

$1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 5.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

$0$ und

$1$ ist

$1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 5.2.7.4

Dividiere

$360$ durch

$1$ .

$360$

Schritt 5.2.8

Die Periode der

$\sin (θ)$ -Funktion ist

$360$ , sodass sich die Werte alle

$360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , für jede Ganzzahl

$n$

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , für jede Ganzzahl

$n$

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , für jede Ganzzahl

$n$

Schritt 6

Setze

$3 \sin (θ) - 5$ gleich

$0$ und löse nach

$θ$ auf.

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Schritt 6.1

Setze

$3 \sin (θ) - 5$ gleich

$0$ .

$3 \sin (θ) - 5 = 0$

Schritt 6.2

Löse

$3 \sin (θ) - 5 = 0$ nach

$θ$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere

$5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 \sin (θ) = 5$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in

$3 \sin (θ) = 5$ durch

$3$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in

$3 \sin (θ) = 5$ durch

$3$ .

$\frac{3 \sin (θ)}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$3$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sin (θ)}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere

$\sin (θ)$ durch

$1$ .

$\sin (θ) = \frac{5}{3}$

Schritt 6.2.3

Der Wertebereich des Sinus ist

$- 1 \leq y \leq 1$ . Da

$\frac{5}{3}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

$(2 \sin (θ) - 1) (3 \sin (θ) - 5) = 0$ wahr machen.

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , für jede Ganzzahl

$n$