Trigonometrie Beispiele

$6 \sin^{2} (θ) - 17 \sin (θ) + 14 = - 4 \sin (θ) + 9$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $4 \sin (θ)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 \sin^{2} (θ) - 17 \sin (θ) + 14 + 4 \sin (θ) = 9$

Schritt 1.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 \sin^{2} (θ) - 17 \sin (θ) + 14 + 4 \sin (θ) - 9 = 0$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Addiere $- 17 \sin (θ)$ und $4 \sin (θ)$ .

$6 \sin^{2} (θ) + 14 - 13 \sin (θ) - 9 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $9$ von $14$ .

$6 \sin^{2} (θ) + 5 - 13 \sin (θ) = 0$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Stelle die Terme um.

$6 \sin^{2} (θ) - 13 \sin (θ) + 5 = 0$

Schritt 3.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 6 \cdot 5 = 30$ und deren Summe gleich $b = - 13$ ist.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $- 13$ aus $- 13 \sin (θ)$ heraus.

$6 \sin^{2} (θ) - 13 \sin (θ) + 5 = 0$

Schritt 3.2.2

Schreibe $- 13$ um als $- 3$ plus $- 10$

$6 \sin^{2} (θ) + (- 3 - 10) \sin (θ) + 5 = 0$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 \sin^{2} (θ) - 3 \sin (θ) - 10 \sin (θ) + 5 = 0$

Schritt 3.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$6 \sin^{2} (θ) - 3 \sin (θ) - 10 \sin (θ) + 5 = 0$

Schritt 3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 \sin (θ) (2 \sin (θ) - 1) - 5 (2 \sin (θ) - 1) = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 \sin (θ) - 1$ .

$(2 \sin (θ) - 1) (3 \sin (θ) - 5) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

$3 \sin (θ) - 5 = 0$

Schritt 5

Setze $2 \sin (θ) - 1$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $2 \sin (θ) - 1$ gleich $0$ .

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $2 \sin (θ) - 1 = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin (θ) = 1$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (θ) = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (θ) = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (θ)$ durch $1$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 5.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $30$ .

$θ = 30$

Schritt 5.2.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$θ = 180 - 30$

Schritt 5.2.6

Subtrahiere $30$ von $180$ .

$θ = 150$

Schritt 5.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (θ)$ .

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Schritt 5.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 5.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 5.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 5.2.7.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 5.2.8

Die Periode der $\sin (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Setze $3 \sin (θ) - 5$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $3 \sin (θ) - 5$ gleich $0$ .

$3 \sin (θ) - 5 = 0$

Schritt 6.2

Löse $3 \sin (θ) - 5 = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 \sin (θ) = 5$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 \sin (θ) = 5$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \sin (θ) = 5$ durch $3$ .

$\frac{3 \sin (θ)}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sin (θ)}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (θ)$ durch $1$ .

$\sin (θ) = \frac{5}{3}$

Schritt 6.2.3

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $\frac{5}{3}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 \sin (θ) - 1) (3 \sin (θ) - 5) = 0$ wahr machen.

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$