Trigonometrie Beispiele

$6 \tan^{2} (θ) - 10 \tan (θ) + 1 = - 5 \tan (θ)$

Schritt 1

Addiere $5 \tan (θ)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 \tan^{2} (θ) - 10 \tan (θ) + 1 + 5 \tan (θ) = 0$

Schritt 2

Addiere $- 10 \tan (θ)$ und $5 \tan (θ)$ .

$6 \tan^{2} (θ) + 1 - 5 \tan (θ) = 0$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Stelle die Terme um.

$6 \tan^{2} (θ) - 5 \tan (θ) + 1 = 0$

Schritt 3.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 6 \cdot 1 = 6$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 \tan (θ)$ heraus.

$6 \tan^{2} (θ) - 5 \tan (θ) + 1 = 0$

Schritt 3.2.2

Schreibe $- 5$ um als $- 2$ plus $- 3$

$6 \tan^{2} (θ) + (- 2 - 3) \tan (θ) + 1 = 0$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 \tan^{2} (θ) - 2 \tan (θ) - 3 \tan (θ) + 1 = 0$

Schritt 3.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$6 \tan^{2} (θ) - 2 \tan (θ) - 3 \tan (θ) + 1 = 0$

Schritt 3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 \tan (θ) (3 \tan (θ) - 1) - (3 \tan (θ) - 1) = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 \tan (θ) - 1$ .

$(3 \tan (θ) - 1) (2 \tan (θ) - 1) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 \tan (θ) - 1 = 0$

$2 \tan (θ) - 1 = 0$

Schritt 5

Setze $3 \tan (θ) - 1$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze $3 \tan (θ) - 1$ gleich $0$ .

$3 \tan (θ) - 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $3 \tan (θ) - 1 = 0$ nach $θ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 \tan (θ) = 1$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 \tan (θ) = 1$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \tan (θ) = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 \tan (θ)}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \tan (θ)}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $\tan (θ)$ durch $1$ .

$\tan (θ) = \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.3

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$θ = \arctan (\frac{1}{3})$

Schritt 5.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Berechne $\arctan (\frac{1}{3})$ .

$θ = 18.43494882$

Schritt 5.2.5

Die Tangensfunktion ist positiv im ersten und dritten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$θ = 180 + 18.43494882$

Schritt 5.2.6

Addiere $180$ und $18.43494882$ .

$θ = 198.43494882$

Schritt 5.2.7

Ermittele die Periode von $\tan (θ)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{180}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{180}{| b |}$

Schritt 5.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{180}{| 1 |}$

Schritt 5.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{180}{1}$

Schritt 5.2.7.4

Dividiere $180$ durch $1$ .

$180$

Schritt 5.2.8

Die Periode der $\tan (θ)$ -Funktion ist $180$ , sodass sich die Werte alle $180$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 18.43494882 + 180 n, 198.43494882 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Setze $2 \tan (θ) - 1$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Setze $2 \tan (θ) - 1$ gleich $0$ .

$2 \tan (θ) - 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse $2 \tan (θ) - 1 = 0$ nach $θ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \tan (θ) = 1$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \tan (θ) = 1$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \tan (θ) = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \tan (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \tan (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $\tan (θ)$ durch $1$ .

$\tan (θ) = \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.3

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$θ = \arctan (\frac{1}{2})$

Schritt 6.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1

Berechne $\arctan (\frac{1}{2})$ .

$θ = 26.56505117$

Schritt 6.2.5

Die Tangensfunktion ist positiv im ersten und dritten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$θ = 180 + 26.56505117$

Schritt 6.2.6

Addiere $180$ und $26.56505117$ .

$θ = 206.56505117$

Schritt 6.2.7

Ermittele die Periode von $\tan (θ)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{180}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{180}{| b |}$

Schritt 6.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{180}{| 1 |}$

Schritt 6.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{180}{1}$

Schritt 6.2.7.4

Dividiere $180$ durch $1$ .

$180$

Schritt 6.2.8

Die Periode der $\tan (θ)$ -Funktion ist $180$ , sodass sich die Werte alle $180$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 26.56505117 + 180 n, 206.56505117 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 \tan (θ) - 1) (2 \tan (θ) - 1) = 0$ wahr machen.

$θ = 18.43494882 + 180 n, 198.43494882 + 180 n, 26.56505117 + 180 n, 206.56505117 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Führe $18.43494882 + 180 n$ und $198.43494882 + 180 n$ zu $18.43494882 + 180 n$ zusammen.

$θ = 18.43494882 + 180 n, 26.56505117 + 180 n, 206.56505117 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8.2

Führe $26.56505117 + 180 n$ und $206.56505117 + 180 n$ zu $26.56505117 + 180 n$ zusammen.

$θ = 18.43494882 + 180 n, 26.56505117 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$