Trigonometrie Beispiele

$\csc (θ) = 5$ with $\frac{π}{2} < θ < π$

Schritt 1

Benutze die Definition des Kosekans, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes der Werte.

$\csc (θ) = \frac{Hypotenuse}{gegenüber}$

Schritt 2

Berechne die Ankathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Hypotenuse und die Gegenkathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Ankathete = - \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {gegenüber}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Ankathete = - \sqrt{{(5)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Kehre das Vorzeichen von $\sqrt{{(5)}^{2} - {(1)}^{2}}$ um.

Ankathete $= - \sqrt{{(5)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

Ankathete $= - \sqrt{25 - {(1)}^{2}}$

Schritt 4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

Ankathete $= - \sqrt{25 - 1 \cdot 1}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

Ankathete $= - \sqrt{25 - 1}$

Schritt 4.5

Subtrahiere $1$ von $25$ .

Ankathete $= - \sqrt{24}$

Schritt 4.6

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

Ankathete $= - \sqrt{4 (6)}$

Schritt 4.6.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

Ankathete $= - \sqrt{2^{2} \cdot 6}$

Schritt 4.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

Ankathete $= - (2 \sqrt{6})$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

Ankathete $= - 2 \sqrt{6}$

Schritt 5

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 5.1

Bestimme den Wert von $\sin (θ)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (θ) = \frac{1}{5}$

Schritt 6

Berechne den Wert des Kosinus.

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Schritt 6.1

Bestimme den Wert von $\cos (θ)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (θ) = \frac{- 2 \sqrt{6}}{5}$

Schritt 6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Schritt 7

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 7.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (θ)$ zu ermitteln.

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (θ) = \frac{1}{- 2 \sqrt{6}}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Wert von $\tan (θ)$ .

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Schritt 7.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\tan (θ) = - \frac{1}{2 \sqrt{6}}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\tan (θ) = - (\frac{1}{2 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

Schritt 7.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{6} \sqrt{6}}$

Schritt 7.3.3.2

Bewege $\sqrt{6}$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Schritt 7.3.3.3

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Schritt 7.3.3.4

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Schritt 7.3.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.3.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{2}}$

Schritt 7.3.3.7

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 7.3.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.3.3.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.3.3.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.3.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.3.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Schritt 7.3.3.7.5

Berechne den Exponenten.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Schritt 7.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{12}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\cot (θ)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (θ) = \frac{- 2 \sqrt{6}}{1}$

Schritt 8.3

Dividiere $- 2 \sqrt{6}$ durch $1$ .

$\cot (θ) = - 2 \sqrt{6}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\sec (θ)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (θ) = \frac{5}{- 2 \sqrt{6}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Wert von $\sec (θ)$ .

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Schritt 9.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sec (θ) = - \frac{5}{2 \sqrt{6}}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $\frac{5}{2 \sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sec (θ) = - (\frac{5}{2 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

Schritt 9.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{5}{2 \sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \sqrt{6} \sqrt{6}}$

Schritt 9.3.3.2

Bewege $\sqrt{6}$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Schritt 9.3.3.3

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Schritt 9.3.3.4

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Schritt 9.3.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{2}}$

Schritt 9.3.3.7

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 9.3.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.3.3.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.3.3.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.3.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Schritt 9.3.3.7.5

Berechne den Exponenten.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Schritt 9.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{12}$

Schritt 10

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (θ) = \frac{1}{5}$

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{12}$

$\cot (θ) = - 2 \sqrt{6}$

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{12}$

$\csc (θ) = 5$