Trigonometrie Beispiele

$4 \sin (x) \cos (x) + \cos (x) = 0$

Schritt 1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $4 \sin (x) \cos (x) + \cos (x)$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $4 \sin (x) \cos (x)$ heraus.

$\cos (x) (4 \sin (x)) + \cos (x) = 0$

Schritt 1.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) (4 \sin (x)) + \cos (x) = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{1} (x)$ heraus.

$\cos (x) (4 \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1 = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) (4 \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1$ heraus.

$\cos (x) (4 \sin (x) + 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

$4 \sin (x) + 1 = 0$

Schritt 3

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

Schritt 3.2

Löse $\cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $90$ .

$x = 90$

Schritt 3.2.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $360$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 360 - 90$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $90$ von $360$ .

$x = 270$

Schritt 3.2.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 3.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 3.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 3.2.5.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 3.2.6

Die Periode der $\cos (x)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$x = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Setze $4 \sin (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $4 \sin (x) + 1$ gleich $0$ .

$4 \sin (x) + 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $4 \sin (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 \sin (x) = - 1$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin (x) = - 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin (x) = - 1$ durch $4$ .

$\frac{4 \sin (x)}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sin (x)}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{4}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (x) = - \frac{1}{4}$

Schritt 4.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{1}{4})$

Schritt 4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.4.1

Berechne $\arcsin (- \frac{1}{4})$ .

$x = - 14.47751218$

Schritt 4.2.5

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $360$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $180$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 360 + 14.47751218 + 180$

Schritt 4.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 4.2.6.1

Subtrahiere $360 °$ von $360 + 14.47751218 + 180 °$ .

$x = 360 + 14.47751218 + 180 ° - 360 °$

Schritt 4.2.6.2

Der resultierende Winkel von $194.47751218 °$ ist positiv, kleiner als $360 °$ und gleich $360 + 14.47751218 + 180$ .

$x = 194.47751218 °$

Schritt 4.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 4.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 4.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 4.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 4.2.7.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 4.2.8

Addiere $360$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 4.2.8.1

Addiere $360$ zu $- 14.47751218$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 14.47751218 + 360$

Schritt 4.2.8.2

Subtrahiere $14.47751218$ von $360$ .

$345.52248781$

Schritt 4.2.8.3

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 345.52248781$

Schritt 4.2.9

Die Periode der $\sin (x)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$x = 194.47751218 + 360 n, 345.52248781 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\cos (x) (4 \sin (x) + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 90 + 360 n, 270 + 360 n, 194.47751218 + 360 n, 345.52248781 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Führe $90 + 360 n$ und $270 + 360 n$ zu $90 + 180 n$ zusammen.

$x = 90 + 180 n, 194.47751218 + 360 n, 345.52248781 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$