Trigonometrie Beispiele

$\cos^{2} (θ) = \frac{1}{2}$

Schritt 1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\cos (θ) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 2.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 2.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 2.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 2.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 4

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $θ$ aufzulösen.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5

Löse in $\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ nach $θ$ auf.

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Schritt 5.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $45$ .

$θ = 45$

Schritt 5.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $360$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$θ = 360 - 45$

Schritt 5.4

Subtrahiere $45$ von $360$ .

$θ = 315$

Schritt 5.5

Ermittele die Periode von $\cos (θ)$ .

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Schritt 5.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 5.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 5.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 5.5.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 5.6

Die Periode der $\cos (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 45 + 360 n, 315 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Löse in $\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ nach $θ$ auf.

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Schritt 6.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $135$ .

$θ = 135$

Schritt 6.3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $360$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$θ = 360 - 135$

Schritt 6.4

Subtrahiere $135$ von $360$ .

$θ = 225$

Schritt 6.5

Ermittele die Periode von $\cos (θ)$ .

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Schritt 6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 6.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 6.5.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 6.6

Die Periode der $\cos (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 135 + 360 n, 225 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Liste alle Lösungen auf.

$θ = 45 + 360 n, 315 + 360 n, 135 + 360 n, 225 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$θ = 45 + 90 n$ , für jede Ganzzahl $n$