Trigonometrie Beispiele

Solve for x in Degrees 5tan(x)sin(x)-4sin(x)=0
Schritt 1
Vereinfache die linke Seite der Gleichung.
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Schritt 1.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.1.1
Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um.
Schritt 1.1.2
Kombiniere und .
Schritt 1.1.3
Multipliziere .
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Schritt 1.1.3.1
Kombiniere und .
Schritt 1.1.3.2
Potenziere mit .
Schritt 1.1.3.3
Potenziere mit .
Schritt 1.1.3.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.1.3.5
Addiere und .
Schritt 1.2
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.2
Separiere Brüche.
Schritt 1.2.3
Wandle von nach um.
Schritt 1.2.4
Dividiere durch .
Schritt 2
Faktorisiere aus heraus.
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Schritt 2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 4
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 4.1
Setze gleich .
Schritt 4.2
Löse nach auf.
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Schritt 4.2.1
Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Sinus herauszuziehen.
Schritt 4.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 4.2.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 4.2.3
Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.
Schritt 4.2.4
Subtrahiere von .
Schritt 4.2.5
Ermittele die Periode von .
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Schritt 4.2.5.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 4.2.5.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 4.2.5.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 4.2.5.4
Dividiere durch .
Schritt 4.2.6
Die Periode der -Funktion ist , sodass sich die Werte alle Grad in beide Richtungen wiederholen werden.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 5
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 5.1
Setze gleich .
Schritt 5.2
Löse nach auf.
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Schritt 5.2.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 5.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 5.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 5.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 5.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 5.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 5.2.3
Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Tangens herauszuziehen.
Schritt 5.2.4
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 5.2.4.1
Berechne .
Schritt 5.2.5
Die Tangensfunktion ist positiv im ersten und dritten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.
Schritt 5.2.6
Addiere und .
Schritt 5.2.7
Ermittele die Periode von .
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Schritt 5.2.7.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 5.2.7.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 5.2.7.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 5.2.7.4
Dividiere durch .
Schritt 5.2.8
Die Periode der -Funktion ist , sodass sich die Werte alle Grad in beide Richtungen wiederholen werden.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 6
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
, für jede Ganzzahl
Schritt 7
Fasse die Ergebnisse zusammen.
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Schritt 7.1
Führe und zu zusammen.
, für jede Ganzzahl
Schritt 7.2
Führe und zu zusammen.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl