Trigonometrie Beispiele

$x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})$

Schritt 1

Multipliziere $(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$x^{3} + y^{3} = x \cdot x^{2} + x (- x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{3} + y^{3} = x^{1} x^{2} + x (- x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}$

Schritt 2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{3} + y^{3} = x^{1 + 2} + x (- x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}$

Schritt 2.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$x^{3} + y^{3} = x^{3} + x (- x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{3} + y^{3} = x^{3} - x (x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}$

Schritt 2.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1

Bewege $x$ .

$x^{3} + y^{3} = x^{3} - (x \cdot x) y + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{3} + y^{3} = x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}$

Schritt 2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{3} + y^{3} = x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y (x y) + y \cdot y^{2}$

Schritt 2.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.1

Bewege $y$ .

$x^{3} + y^{3} = x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - (y \cdot y) x + y \cdot y^{2}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$x^{3} + y^{3} = x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y \cdot y^{2}$

Schritt 2.6

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 2.6.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$x^{3} + y^{3} = x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y^{1} y^{2}$

Schritt 2.6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{3} + y^{3} = x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y^{1 + 2}$

Schritt 2.6.2

Addiere $1$ und $2$ .

$x^{3} + y^{3} = x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y^{3}$

Schritt 3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y^{3}$ .

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Schritt 3.1

Ordne die Faktoren in den Termen $- x^{2} y$ und $y x^{2}$ neu an.

$x^{3} + y^{3} = x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + x^{2} y - y^{2} x + y^{3}$

Schritt 3.2

Addiere $- x^{2} y$ und $x^{2} y$ .

$x^{3} + y^{3} = x^{3} + x y^{2} + 0 - y^{2} x + y^{3}$

Schritt 3.3

Addiere $x^{3} + x y^{2}$ und $0$ .

$x^{3} + y^{3} = x^{3} + x y^{2} - y^{2} x + y^{3}$

Schritt 3.4

Ordne die Faktoren in den Termen $x y^{2}$ und $- y^{2} x$ neu an.

$x^{3} + y^{3} = x^{3} + y^{2} x - y^{2} x + y^{3}$

Schritt 3.5

Subtrahiere $y^{2} x$ von $y^{2} x$ .

$x^{3} + y^{3} = x^{3} + 0 + y^{3}$

Schritt 3.6

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$x^{3} + y^{3} = x^{3} + y^{3}$

Schritt 4

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})$ ist eine Identitätsgleichung.