Trigonometrie Beispiele

$\csc^{2} (θ) - 4 = 0$

Schritt 1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\csc^{2} (θ) = 4$

Schritt 2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\csc (θ) = \pm \sqrt{4}$

Schritt 3

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\csc (θ) = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\csc (θ) = \pm 2$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\csc (θ) = 2$

Schritt 4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\csc (θ) = - 2$

Schritt 4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\csc (θ) = 2, - 2$

Schritt 5

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $θ$ aufzulösen.

$\csc (θ) = 2$

$\csc (θ) = - 2$

Schritt 6

Löse in $\csc (θ) = 2$ nach $θ$ auf.

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Schritt 6.1

Wende den inversen Kosekans auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosekans herauszuziehen.

$θ = arccsc (2)$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Der genau Wert von $arccsc (2)$ ist $30$ .

$θ = 30$

Schritt 6.3

Die Kosekansfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$θ = 180 - 30$

Schritt 6.4

Subtrahiere $30$ von $180$ .

$θ = 150$

Schritt 6.5

Ermittele die Periode von $\csc (θ)$ .

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Schritt 6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 6.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 6.5.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 6.6

Die Periode der $\csc (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Löse in $\csc (θ) = - 2$ nach $θ$ auf.

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Schritt 7.1

Wende den inversen Kosekans auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosekans herauszuziehen.

$θ = arccsc (- 2)$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Der genau Wert von $arccsc (- 2)$ ist $- 30$ .

$θ = - 30$

Schritt 7.3

Die Kosekansfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere die Lösung von $360$ , um den Referenzwinkel zu finden. Addiere dann diesen Referenzwinkel zu $180$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$θ = 360 + 30 + 180$

Schritt 7.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 7.4.1

Subtrahiere $360 °$ von $360 + 30 + 180 °$ .

$θ = 360 + 30 + 180 ° - 360 °$

Schritt 7.4.2

Der resultierende Winkel von $210 °$ ist positiv, kleiner als $360 °$ und gleich $360 + 30 + 180$ .

$θ = 210 °$

Schritt 7.5

Ermittele die Periode von $\csc (θ)$ .

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Schritt 7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 7.5.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 7.6

Addiere $360$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 7.6.1

Addiere $360$ zu $- 30$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 30 + 360$

Schritt 7.6.2

Subtrahiere $30$ von $360$ .

$330$

Schritt 7.6.3

Liste die neuen Winkel auf.

$θ = 330$

Schritt 7.7

Die Periode der $\csc (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 210 + 360 n, 330 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Liste alle Lösungen auf.

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n, 210 + 360 n, 330 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 9.1

Führe $30 + 360 n$ und $210 + 360 n$ zu $30 + 180 n$ zusammen.

$θ = 30 + 180 n, 150 + 360 n, 330 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9.2

Führe $150 + 360 n$ und $330 + 360 n$ zu $150 + 180 n$ zusammen.

$θ = 30 + 180 n, 150 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$